courbe de Lissajous

Imaginez un point dont la position horizontale va régulièrement de gauche à droite, tandis que sa position verticale monte et descend à un autre rythme. Le point ne dessine pas deux vagues séparées : il combine les deux mouvements et laisse une boucle, un huit ou une figure plus complexe.

Cette trace est une courbe de Lissajous. Un rapport simple entre les deux rythmes referme la figure ; le décalage entre les oscillations en modifie l’allure.

Une courbe de Lissajous est une courbe plane paramétrique : un même paramètre réel, noté t, commande deux coordonnées issues d’oscillations sinusoïdales perpendiculaires. Les amplitudes horizontale et verticale sont notées respectivement a et b. Le rapport de fréquence est noté n et le déphasage entre les oscillations est noté φ. Une écriture standard est :Dans la convention de la source, φ appartient à [0, π/2] et n est au moins égal à 1.

Les amplitudes a et b fixent le rectangle [−a, a] × [−b, b] qui contient la trace. Le rapport n et le déphasage φ en déterminent l’organisation. Si n est entier, la courbe se referme après un parcours de longueur paramétrique 2π. Plus généralement, si n est rationnel, elle est fermée et algébrique ; lorsque n = p/q est écrit sous forme irréductible, son degré dépend de p, de q, de leur parité et du déphasage, sans croître uniformément avec ces entiers.

Si n est irrationnel, aucun parcours fini ne referme la courbe. La trajectoire est alors dense dans le rectangle : au fil du temps, elle passe arbitrairement près de chacun de ses points. Nathaniel Bowditch a étudié ces courbes en 1815, puis Jules Antoine Lissajous les a approfondies en 1857 en les observant avec des pendules et des miroirs.

En physique ou en électronique, la courbe apparaît lorsqu’un dispositif reporte un signal périodique sur l’axe horizontal et un second sur l’axe vertical. On observe une trace contenue dans un rectangle, souvent formée de boucles, avec des croisements et des symétries. Une figure stable indique que les deux rythmes entretiennent un rapport constant.

Le support ne montre pas directement les deux signaux en fonction du temps : il encode leur relation instantanée. Les dimensions du rectangle renseignent sur leurs amplitudes ; le nombre et la disposition des lobes renseignent sur le rapport de fréquence ; l’allure globale varie avec le déphasage.

La grandeur principale à lire est le rapport des fréquences, complété par le déphasage. La convention choisie ici place le premier signal sur l’axe horizontal et le second sur l’axe vertical ; inverser les axes change l’orientation de la figure, pas les deux signaux comparés.

1. Repérez les amplitudes maximales : la trace reste entre −a et a horizontalement, puis entre −b et b verticalement.

2. Suivez mentalement un parcours complet. Dans l’exemple, x effectue une oscillation pendant que y en effectue deux ; la courbe forme donc deux lobes.

3. Examinez le point de départ et les symétries pour situer le déphasage, puis vérifiez cette lecture avec les équations plutôt qu’avec la seule silhouette.

L’œil peut compter des lobes sans savoir quel signal commande quel axe. Le bon réflexe est de fixer d’abord la convention des axes : sinon, le rapport lu peut être inversé.

Prenons une amplitude horizontale a = 3, une amplitude verticale b = 2, un rapport de fréquence n = 2 et un déphasage φ = 0. Le paramètre t parcourt [0, 2π]. La figure associée est calculée avec ces données.

1. Les coordonnées sont :

2. Pour t = 0, les deux sinus valent 0 : le point de départ est (0 ; 0). Pour t = π/2, le point est (3 ; 0). Pour t = π, il revient en (0 ; 0).

3. À t = π/6, sin(π/6) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. Le point obtenu est donc (3/2 ; √3), soit environ (1,5 ; 1,732).

4. Lorsque t atteint 2π, x et y valent de nouveau 0 : la courbe est fermée. Sur le même intervalle, x accomplit une oscillation et y en accomplit deux, ce qui contrôle le rapport n = 2 et explique les deux lobes.

En électronique, la courbe sert à comparer deux signaux périodiques. Une figure stable rend visibles leur rapport de fréquence et leur déphasage ; deux graphes temporels restent préférables lorsque l’on veut suivre séparément l’évolution de chaque signal.

En physique expérimentale, deux oscillations perpendiculaires peuvent produire directement la trajectoire. Lissajous observait ce phénomène à l’aide de pendules et de miroirs : la trace combinée est pertinente lorsque la relation entre les mouvements compte davantage que chacun d’eux isolément.

Pour explorer mathématiquement un rapport donné, on fixe les amplitudes, le rapport n et le déphasage φ, puis on fait varier t. Le calcul paramétrique est préférable à un dessin à main levée dès qu’il faut vérifier la fermeture ou un point précis.

Avec le graphe temporel d’une sinusoïde. Un graphe temporel place le temps sur un axe et l’amplitude sur l’autre. Une courbe de Lissajous place une oscillation sur chaque axe. Si l’axe horizontal représente t, il ne s’agit donc pas d’une courbe de Lissajous.

Avec les deux signaux séparés. Deux sinusoïdes tracées l’une au-dessus de l’autre montrent chacune leur évolution. La courbe de Lissajous associe au contraire leurs valeurs prises au même instant : un seul point mobile porte les deux informations.

Rapport irrationnel. Si n est irrationnel, attendre un retour exact au point et à la phase de départ est vain : la courbe ne se ferme jamais et devient dense dans [−a, a] × [−b, b]. Il faut décrire cette densité plutôt qu’annoncer une période.

Rapport rationnel non entier. Pour n = p/q écrit avec les entiers positifs p et q sans facteur commun, un intervalle de longueur 2π peut être trop court. Dans la paramétrisation standard, un parcours de longueur 2πq referme toujours la trace.

Amplitude nulle. Si a = 0 ou b = 0, le rectangle s’écrase et la trajectoire devient un segment, voire un point si les deux amplitudes sont nulles. Il faut alors signaler ce cas dégénéré plutôt que compter des lobes.

Silhouette seule. Une forme tournée ou réfléchie peut venir d’un échange des axes ou d’une convention de phase différente. Pour attribuer un rapport et un déphasage, il faut connaître les axes et contrôler les équations.

La fonction sinusoïdale permet d’approfondir l’oscillation qui fournit chacune des deux coordonnées d’une courbe de Lissajous.

L’analyse harmonique élargit l’étude aux composantes périodiques et à leurs fréquences.

La Transformée de Fourier prolonge cette lecture en décrivant le contenu fréquentiel de signaux plus généraux.