GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Monge
Pour une fonction réelle de deux variables de classe C² au voisinage d'un point critique, le théorème de Monge classe ce point d'après la Hessienne, donc la courbure locale de la surface. Si son déterminant est positif, le point est un minimum local lorsque la dérivée seconde selon x est positive et un maximum local lorsqu'elle est négative ; s'il est négatif, c'est un point selle ; s'il est nul, le test ne permet pas de conclure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses nécessaires avant d'appliquer le critère.
- Calculer R, S, T et le discriminant S² − RT sur un exemple vérifiable.
- Distinguer minimum local, maximum local, point selle et cas indéterminé.
- Séparer le critère analytique des autres résultats homonymes de Monge.
En clair
Imaginez une surface près d'un endroit parfaitement horizontal. Elle peut former le fond d'un bol, le sommet d'une colline ou un col qui monte dans une direction et descend dans l'autre. Le critère associé aux notations de Monge distingue ces trois formes en observant les courbures dans deux directions et leur interaction.
Il ne décrit que le voisinage immédiat du point : un minimum local n'est pas nécessairement le point le plus bas de toute la surface.
Définition
Dans le sens retenu ici, le théorème de Monge est le critère des dérivées secondes pour une fonction réelle de deux variables. On considère une fonction f de classe C2, donc dotée de dérivées partielles secondes continues, près d'un point (x0, y0). Ce point doit être stationnaire : les deux dérivées partielles premières de f y sont nulles.
On note R la dérivée seconde de f par rapport à x, S la dérivée seconde mixte et T la dérivée seconde par rapport à y, toutes évaluées en (x0, y0). Le nombre D utilisé par le critère est . Il est l'opposé du déterminant de la matrice hessienne.
Lorsque D est négatif, le signe de R sépare minimum et maximum locaux. Lorsque D est positif, le point est un point selle, ou point col. Lorsque D est nul, le test ne conclut pas. D'autres résultats portent le nom de Monge, notamment en géométrie du tétraèdre ; ils ne constituent pas une variante de ce critère analytique.
Le principe
Soit f une fonction de classe C2 de ℝ2 dans ℝ et (x0, y0) un point où ses dérivées partielles premières s'annulent. Avec R, S et T pour ses trois dérivées secondes en ce point, on pose :
Si D < 0 et R > 0, le point est un minimum local ; si D < 0 et R < 0, c'est un maximum local. Si D > 0, c'est un point selle. Si D = 0, le critère est muet.
Quand l'utiliser
Le test s'applique à une fonction réelle de deux variables qui est de classe C2 dans un voisinage du point étudié. Il faut d'abord vérifier que ce point est stationnaire, puis calculer R, S et T au même point. Ces données déterminent une nature locale seulement lorsque S2 − RT n'est pas nul.
Si une dérivée première ne s'annule pas, le point n'est pas stationnaire et ce classement n'a pas lieu d'être. Si le discriminant vaut zéro, comme pour la fonction f(x, y) = x4 + y4 à l'origine, les dérivées secondes ne suffisent pas ; il faut étudier les termes d'ordre supérieur ou comparer directement les valeurs voisines.
Un exemple, pas à pas
Étudions la fonction au point (0, 0). Les données sont la fonction, le point choisi et ses deux variables réelles.
1. Les dérivées partielles premières valent 2x et 4y. Elles sont toutes deux nulles en (0, 0) : le point est stationnaire.
2. Les dérivées secondes donnent R = 2, S = 0 et T = 4.
3. Le discriminant vaut exactement . Il est négatif et R est positif.
Le point (0, 0) est donc un minimum local. Le contrôle est direct : pour tous x et y réels, x2 + 2y2 ≥ 0, avec égalité seulement à l'origine. Les courbes de niveau elliptiques rendent visible cette croissance dans toutes les directions.
En pratique
Pour classer un point critique d'une fonction de deux variables, on commence par résoudre l'annulation des dérivées premières. On applique ensuite le critère à chacun des points obtenus.
Une lecture géométrique aide à contrôler le calcul : un minimum ressemble localement à une cuvette, un maximum à une bosse, et une selle monte et descend selon la direction suivie.
Quand le discriminant est nul, on abandonne ce test sans forcer de verdict. Une factorisation, une étude par directions ou un développement local d'ordre supérieur devient alors plus informatif.
À ne pas confondre
Le critère analytique présenté ici ne doit pas être confondu avec le théorème de Monge sur trois cercles : celui-ci porte sur l'alignement de centres de similitude, non sur les dérivées d'une fonction. La présence de cercles et de centres indique immédiatement l'énoncé géométrique.
Il se distingue aussi du point de Monge d'un tétraèdre, défini par l'intersection de plans particuliers. Un problème portant sur un tétraèdre et des plans relève de cette construction géométrique, même si le même nom propre apparaît.
Limites et pièges
Le cas charnière S2 − RT = 0 n'autorise aucun verdict. Un minimum peut pourtant exister, comme pour x4 + y4 à l'origine ; le symptôme est l'annulation du discriminant, et l'étude doit alors dépasser l'ordre deux.
Le signe de R ne se lit qu'après avoir établi que le discriminant est négatif. Pris seul, R > 0 ne garantit pas un minimum : si S2 − RT > 0, le verdict reste un point selle.
Le résultat est local. Même lorsque le test conclut à un minimum, il ne prouve pas que sa valeur est la plus petite sur tout le domaine ; une étude globale du domaine et de ses frontières est nécessaire pour cette autre question.
Pour aller plus loin
La fiche matrice hessienne replace R, S et T dans une matrice et relie le test au signe de ses valeurs propres.
La fiche point critique approfondit l'étape préalable : repérer les points où les dérivées premières s'annulent avant de les classer.
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