point critique

Imaginez un relief qui monte lorsque l'on avance dans une direction et descend lorsque l'on avance dans la direction perpendiculaire. Au centre, la pente instantanée est pourtant nulle dans les deux directions. Ce centre est un point critique, ici en forme de selle : l'absence de pente ne suffit donc pas à annoncer un sommet ou un creux.

En thermodynamique, le même nom repère une autre idée. Sur un diagramme pression-température, la courbe d'équilibre liquide-vapeur se termine au point critique. À une température supérieure à la température critique, aucune transition liquide-vapeur ne sépare plus ces deux phases.

En analyse de plusieurs variables, considérons une fonction f qui associe un nombre aux variables x et y. Son gradient rassemble ses dérivées partielles. Un point de coordonnées (a, b) est critique, au sens retenu ici, lorsque ce gradient existe et s'annule : $\mathrm{\nabla }f(a,b)=0\backslash nabla\; f(a,b)=0$. Cela revient à demander simultanément : $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(a,b)=0\text{et}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(a,b)=0\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}(a,b)=0\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}(a,b)=0$.

Cette condition repère un candidat, mais ne donne pas encore sa nature. Selon les valeurs prises au voisinage, le point peut être un minimum local, un maximum local ou un point selle. Dans ce dernier cas, tout voisinage contient des points où la fonction prend des valeurs supérieures et d'autres où elle prend des valeurs inférieures.

En thermodynamique, aucune fonction à optimiser n'est en jeu. Pour un corps pur, le point critique est l'extrémité de la courbe d'équilibre liquide-vapeur dans le diagramme pression-température. Ses deux coordonnées sont la température critique et la pression critique. Au-dessus de la température critique, il n'existe plus de transition séparant une phase liquide d'une phase gazeuse ; lorsque la température et la pression sont toutes deux supérieures à leurs valeurs critiques, on parle de fluide supercritique.

Étudions la fonction f définie pour tous les couples réels (x, y) par $f(x,y)=x^2-y^{2}f(x,y)=x^2-y^2$. Les données sont cette expression, les deux variables x et y, et le point de coordonnées (0, 0).

1. Calculons les deux dérivées partielles : $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}(x,y)=2x\text{et}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}(x,y)=-2y\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}(x,y)=2x\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}(x,y)=-2y$.

2. Annulons-les simultanément. Les égalités 2x = 0 et −2y = 0 donnent x = 0 et y = 0. Le point (0, 0) est donc l'unique point critique de cette fonction.

3. Examinons deux directions. Pour tout nombre réel t non nul, $f(t,0)=t^2>0f(t,0)=t^2>0$, tandis que . Or f(0, 0) = 0. La fonction monte donc le long de l'axe des x et descend le long de l'axe des y.

4. Le point critique (0, 0) n'est ni un minimum local ni un maximum local : c'est un point selle. Les deux coupes paraboliques donnent un contrôle refaisable, puisque t = 1 produit respectivement 1 et −1 autour de la valeur centrale 0. Leur représentation rend visibles les courbures opposées.

Pour chercher les points critiques d'une fonction de plusieurs variables, calculez ses dérivées partielles puis résolvez leur annulation simultanée. Si une dérivée n'existe pas au point examiné, la convention de la fiche ne permet pas de conclure par le critère du gradient nul.

Pour classer un point trouvé, comparez les valeurs de la fonction autour de lui. Si elles sont toutes plus grandes ou toutes plus petites dans un voisinage, un minimum ou un maximum local est en jeu. Si chaque voisinage contient des valeurs supérieures et inférieures, comme pour x² − y², retenez le point selle.

Pour lire un diagramme pression-température d'un corps pur, suivez plutôt la courbe d'équilibre liquide-vapeur jusqu'à son extrémité. Cette méthode graphique remplace le calcul d'un gradient : le contexte physique et les axes du diagramme indiquent quel sens de « point critique » s'applique.

Point critique en analyse et point critique en thermodynamique. Le premier se reconnaît par l'annulation simultanée des dérivées partielles d'une fonction ; le second par l'extrémité de la courbe liquide-vapeur d'un corps pur. Une expression comme ∇f = 0 impose le sens mathématique, tandis qu'un diagramme pression-température impose le sens thermodynamique.

Gradient nul, nature encore inconnue. L'égalité ∇f = 0 signale un point critique selon la convention retenue, mais ne prouve ni minimum ni maximum. Pour x² − y², les signes opposés observés autour de (0, 0) imposent de conclure à un point selle.

Gradient non défini. Certaines conventions élargissent l'expression « point critique » aux points où la dérivée n'existe pas. La définition de référence de cette fiche exige au contraire un gradient existant et nul ; il faut donc annoncer la convention avant de comparer deux listes de points.

Frontière thermodynamique. Le cas charnière est le couple formé par la température critique et la pression critique, à l'extrémité de la courbe liquide-vapeur. Au-dessus de la température critique, il n'existe plus de frontière liquide-vapeur ; si la pression dépasse elle aussi la pression critique, le fluide est supercritique.

Dérivée partielle — Approfondir le calcul de chacune des composantes dont l'annulation simultanée forme le critère du gradient nul.

Minimum — Préciser le cas où les valeurs voisines permettent de classer un point critique comme minimum local.