méthode des différences finies

Imaginez une courbe dont on ne conserve que quelques valeurs régulièrement espacées. La pente en un point peut alors être estimée en comparant les valeurs voisines, comme on évalue une vitesse à partir de positions relevées à deux instants proches.

La méthode des différences finies applique ce geste à toute une équation différentielle. Elle remplace un problème continu par un nombre fini d'équations portant sur les valeurs inconnues aux points du maillage. Leur résolution fournit une approximation numérique de la fonction cherchée.

La méthode des différences finies est une famille de techniques de résolution numérique des équations différentielles ordinaires et des équations aux dérivées partielles. Le domaine continu est remplacé par un ensemble fini de points, appelé maillage. La fonction inconnue n'est plus recherchée partout à la fois : on calcule des valeurs approchées à ces points.

Si h désigne l'écart entre deux points voisins et u la fonction cherchée, une dérivée première peut être approchée par $\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\backslash frac\{u(x+h)-u(x)\}\{h\}$. Cette différence décentrée est en général d'ordre 1. La différence centrée pour la dérivée première et la formule à trois points pour la dérivée seconde sont en général d'ordre 2 : sous des hypothèses de régularité, leur erreur de troncature décroît comme h². Ces formules découlent de développements de Taylor autour du point considéré.

Après substitution dans l'équation et dans les conditions initiales ou aux limites, on obtient un système algébrique. La méthode est particulièrement directe sur un domaine régulier muni d'un maillage structuré. Sur une géométrie irrégulière, la construction des points voisins et le traitement du bord deviennent plus délicats.

Sur une grille uniforme de pas positif h, on numérote les points par un indice i. Si la fonction u possède assez de dérivées au voisinage du point intérieur considéré, sa dérivée seconde s'approche par la différence centrée :

On remplace chaque dérivée de l'équation par la formule choisie, on impose les données au bord ou à l'instant initial, puis on résout le système obtenu. Le calcul s'arrête lorsque les valeurs nodales sont déterminées et que le raffinement du pas confirme la précision attendue.

La méthode s'applique lorsqu'une équation différentielle est accompagnée de données initiales ou de conditions aux limites suffisantes pour définir le problème. Il faut choisir un maillage, une formule de différence adaptée à chaque dérivée et un traitement cohérent des points du bord. L'ordre annoncé suppose aussi que la solution possède les dérivées requises par le développement de Taylor.

Trois contrôles sont vérifiables : le pas h est strictement positif, chaque stencil utilise des voisins disponibles, et le schéma est stable pour le pas spatial et, s'il existe, le pas de temps choisis. Un domaine très découpé constitue un contre-cas concret : une grille régulière épouse mal son bord. Un maillage non structuré, souvent associé aux éléments finis ou aux volumes finis, peut alors être préférable.

On cherche une approximation de la fonction u sur l'intervalle de 0 à 1, avec u″ = −2 et les valeurs au bord u(0) = u(1) = 0. Le maillage comporte cinq points : 0, 1/4, 1/2, 3/4 et 1.

1. L'écart entre deux points voisins vaut h = 1/4, donc h² = 1/16.

2. À chacun des trois points intérieurs, la différence centrée donne l'équation :

3. Avec les deux valeurs de bord nulles, le système à résoudre est :

4. La résolution donne u₁ = 3/16, u₂ = 1/4 et u₃ = 3/16. Le contrôle au point central donne 3/16 − 2 × 1/4 + 3/16 = −1/8, comme l'exige l'équation discrète.

Ici, la solution exacte est u(x) = x(1 − x). Elle prend exactement les trois valeurs calculées, car la différence centrée reproduit sans erreur la dérivée seconde d'un polynôme quadratique. La courbe et ses cinq nœuds rendent visible cet accord particulier.

Pour une équation de diffusion sur un rectangle, on pose une grille régulière, on remplace les dérivées spatiales par des différences centrées et on fait évoluer les valeurs dans le temps. Si le bord est très irrégulier, les éléments finis sont souvent plus faciles à adapter.

Pour une équation différentielle ordinaire, les instants successifs forment eux-mêmes le maillage. Une différence avant fournit une méthode simple d'ordre 1 ; une formule centrée ou un schéma d'ordre supérieur est choisie lorsque l'erreur observée doit décroître plus vite avec le pas.

Dans un calcul fiable, on recommence avec un pas plus petit. Si les résultats se rapprochent à la vitesse prévue par l'ordre du schéma, le maillage est probablement dans le régime de convergence. Si les oscillations augmentent, il faut d'abord examiner la stabilité plutôt que raffiner aveuglément.

Différences finies et éléments finis. Les différences finies remplacent directement les dérivées par des combinaisons de valeurs voisines. Les éléments finis recherchent une solution par morceaux dans un espace de fonctions et partent d'une formulation faible. Sur un rectangle quadrillé, les deux approches sont possibles ; sur un domaine découpé irrégulièrement, leur construction se distingue nettement.

Différences finies et volumes finis. Un schéma en volumes finis équilibre des flux sur chaque cellule et vise une conservation locale. Une différence finie au point central ne garantit pas à elle seule ce bilan cellule par cellule. Pour une loi de conservation, le contrôle testable consiste à vérifier les flux entrant et sortant de chaque volume.

Approximation de dérivée et interpolation. Une différence finie estime une dérivée à partir de valeurs voisines ; une interpolation construit une fonction passant par des données. Les mêmes points peuvent servir aux deux, mais le résultat demandé tranche : une pente dans le premier cas, une valeur entre les points dans le second.

Ordre théorique hors de portée. Une formule d'ordre 2 ne garantit une erreur divisée par quatre quand h est divisé par deux que dans le régime asymptotique et pour une solution assez régulière. Si ce rapport n'apparaît pas, il faut rechercher une singularité, une erreur de bord ou un maillage encore trop grossier.

Instabilité. Un pas spatial fin ne répare pas un schéma temporel instable. Des oscillations ou une croissance numérique absentes du modèle sont des symptômes observables. Il faut respecter la condition de stabilité propre au schéma, ou choisir une discrétisation implicite adaptée.

Bords et géométries irrégulières. Près du bord, un voisin requis peut se trouver hors du domaine. Décaler la formule sans recalculer son ordre fausse l'approximation. Il faut employer un stencil de bord dérivé séparément ou préférer une méthode mieux adaptée au maillage irrégulier.

Pas excessivement petit. Réduire h diminue d'abord l'erreur de troncature, mais amplifie aussi les soustractions de nombres proches et le coût du système. Si deux raffinements successifs cessent d'améliorer le résultat, il faut examiner l'arrondi et le conditionnement au lieu de continuer à réduire le pas.

Les schémas aux différences finies approfondit la construction et l'analyse des schémas utilisés pour passer d'une équation continue à un calcul discret.

Le développement en série de Taylor explique l'outil qui produit les formules de différence et permet d'en déterminer l'ordre d'approximation.