fonction d'approximation

Tracer exactement la courbe de la fonction exponentielle ou calculer avec elle peut être encombrant. Près de zéro, la droite de formule 1 + x suit cette courbe : elle vaut exactement 1 au même point et reste très proche alentour.

Cette droite joue le rôle de fonction d’approximation. On gagne un objet facile à calculer, mais seulement sur une zone annoncée et avec une erreur mesurée. Changer de zone, de précision recherchée ou de manière de mesurer l’écart peut conduire à choisir une autre approximation.

Soit une fonction cible f appartenant à un espace de fonctions muni d’une norme, c’est-à-dire d’une règle qui mesure la taille d’une fonction. Une fonction g est choisie dans une famille plus simple, par exemple les polynômes, les fonctions rationnelles ou les splines. Elle devient une approximation de f lorsque l’écart entre f et g est petit au sens fixé. Si la norme est notée avec deux barres, cet écart s’écrit $\parallel f-g\parallel \backslash lVert\; f-g\; \backslash rVert$. Le mot « petit » n’a donc de sens qu’avec un domaine, une mesure de l’erreur et, en pratique, une tolérance.

La cible peut être connue mais difficile à manipuler, notamment pour calculer une intégrale ou un développement en série. On peut alors construire une suite de fonctions simples, notées g_n, dont l’erreur tend vers zéro : $\parallel f-g_n\parallel \to 0\backslash lVert\; f-g\_n\; \backslash rVert\; \backslash to\; 0$. La convergence dépend de la norme choisie : contrôler l’erreur maximale en chaque point n’est pas la même exigence que contrôler une erreur moyenne.

La cible peut aussi ne pas être donnée par une formule explicite. Elle est alors définie comme solution d’une équation différentielle, d’une équation aux dérivées partielles ou d’une équation intégrale. Les méthodes des éléments finis et des différences finies construisent dans ce cadre des fonctions ou des valeurs approchées. Cette notion relie ainsi théorie de l’approximation, analyse numérique, analyse fonctionnelle, contrôle et processus stochastiques.

Une approximation repose sur cinq données liées. La fonction cible est l’objet à approcher. Le domaine précise où la comparaison est effectuée. La famille d’approximation rassemble les remplaçantes autorisées, comme les polynômes ou les splines. La mesure de l’écart fixe ce que signifie « proche ». Enfin, un critère de choix sélectionne une fonction dans la famille, par exemple celle qui réduit le plus l’erreur ou qui respecte des valeurs imposées.

Le domaine agit directement sur l’erreur : une droite fidèle près d’un point peut devenir médiocre plus loin. La norme agit sur le choix : deux normes peuvent désigner deux meilleures approximations différentes. Ces données suffisent à poser un problème d’approximation ; la couleur ou l’épaisseur d’une courbe ne le définissent pas. Pour une suite g_n, l’indice n décrit souvent une complexité croissante, mais il ne garantit une amélioration que si une convergence est établie.

On approche la fonction exponentielle f, définie par f(x) = e^x, par la fonction affine g définie par g(x) = 1 + x. Le domaine est l’intervalle [−0,1 ; 0,1]. L’erreur observée en un point x est la valeur absolue de la différence entre f(x) et g(x).

1. Au centre, x vaut 0. Les deux fonctions valent exactement 1, donc l’erreur vaut 0.

2. À l’extrémité droite, x vaut 0,1. On obtient e^0,1 ≈ 1,105171 et g(0,1) = 1,1. L’erreur est donc environ 0,005171.

3. À l’extrémité gauche, x vaut −0,1. On obtient e^−0,1 ≈ 0,904837 et g(−0,1) = 0,9. L’erreur est donc environ 0,004837.

Le contrôle consiste à recalculer les deux différences avec davantage de décimales. Sur les trois points testés, la plus grande erreur est celle obtenue en x = 0,1, soit environ 0,005171. Ce contrôle ponctuel illustre la qualité de g, mais ne prouve pas à lui seul que cette valeur est le maximum sur tout l’intervalle. La figure compare les deux courbes avec les mêmes données.

Pour un calcul près d’un point, une approximation affine remplace une courbe par sa droite tangente lorsque la zone est courte et que l’erreur admise est compatible avec cette simplification. Si la zone s’élargit, un polynôme de degré supérieur peut mieux suivre la courbure.

Pour relier des valeurs connues en plusieurs points, une spline fournit des morceaux polynomiaux raccordés. Elle est souvent préférable à un unique polynôme de degré élevé lorsque l’on veut conserver un contrôle local des variations.

Pour une équation aux dérivées partielles, la méthode des éléments finis découpe le domaine et cherche une solution approchée dans un espace de dimension finie. Les différences finies remplacent plutôt les dérivées par des écarts entre valeurs d’une grille ; la géométrie du domaine et la formulation du problème orientent le choix.

Dans tous les cas, le geste décisif est de confronter l’erreur estimée à la précision nécessaire. Une formule plus simple n’est utile que si son domaine de validité et son coût de calcul répondent au problème posé.

Approximation et interpolation. Une interpolation doit reproduire exactement les valeurs imposées à certains points. Une approximation peut accepter un écart à ces points pour réduire une erreur globale. Une droite de régression qui ne passe pas par toutes les mesures tranche clairement entre les deux.

Approximation et arrondi. Un arrondi remplace un nombre par une valeur représentable avec moins de chiffres. Une fonction d’approximation remplace une fonction entière sur un domaine. Écrire 1,105 à la place de e^0,1 est un arrondi ; employer 1 + x à la place de e^x près de zéro est une approximation fonctionnelle.

Approximation et estimation statistique. Une estimation déduit une quantité inconnue à partir de données et d’un modèle probabiliste. Une approximation simplifie un objet mathématique selon un écart défini. Ajuster une courbe à des observations à l’aide d’un modèle probabiliste relève de l’estimation ; remplacer ensuite cette courbe par un polynôme plus maniable relève de l’approximation.

Sortir du domaine annoncé. La droite 1 + x est fidèle à e^x près de zéro, mais l’écart grandit lorsque |x| augmente. Le symptôme est une erreur qui dépasse la tolérance. Il faut restreindre l’intervalle ou choisir une famille plus riche.

Changer silencieusement de norme. Une petite erreur moyenne peut masquer une grande erreur locale. Si l’application interdit tout dépassement d’un seuil en un point, il faut contrôler une norme adaptée au maximum, et non conclure à partir de la seule moyenne.

Confondre tests et preuve. Dans l’exemple, les erreurs 0, 0,004837 et 0,005171 ne concernent que trois points. Leur maximum ne démontre pas le maximum sur l’intervalle entier. Il faut étudier l’erreur comme une fonction ou disposer d’une borne théorique.

Supposer existence ou unicité. Une meilleure approximation n’existe pas toujours dans une famille mal choisie, et elle peut ne pas être unique. Avant de parler de « la » meilleure, il faut préciser l’espace, la famille admissible et la norme, puis établir qu’un minimiseur existe et qu’il est unique si cette propriété est requise.

La théorie de l’approximation replace le choix des familles simples et l’étude de leur convergence dans un cadre plus large.

La norme précise la manière de mesurer l’écart entre la cible et son approximation, donc le sens exact du mot « proche ».

La spline cubique montre comment des polynômes par morceaux peuvent assurer à la fois ajustement local et raccords réguliers.

La méthode des éléments finis illustre l’approximation d’une solution d’équation sur un domaine découpé en éléments.

La méthode des différences finies explique une autre voie : remplacer les dérivées par des écarts calculés sur une grille.