AnalyseReprésentation graphique · Glossaire
courbe du blanc-manger
La courbe du blanc-manger, ou courbe de Takagi, est le graphe de la fonction qui, à tout réel x, associe la somme, pour n ≥ 0, de la distance de 2ⁿx à l'entier le plus proche, divisée par 2ⁿ. Cette série de motifs triangulaires, à fréquence doublée et amplitude divisée par deux, converge vers une fonction continue sur ℝ mais sans dérivée réelle finie en aucun point : elle montre que la continuité n'assure pas une pente locale stable.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la forme de la courbe à la superposition de dents de scie.
- Calculer exactement la hauteur au point d'abscisse 3/8.
- Distinguer continuité, pente d'une approximation et dérivabilité de la limite.
- Repérer les conventions de normalisation et la nuance des tangentes verticales.
En clair
Imaginez une tente triangulaire. Ajoutez par-dessus des tentes deux fois plus serrées et deux fois moins hautes, puis recommencez sans fin. La ligne obtenue reste continue : on peut la tracer sans saut. Pourtant, de nouveaux angles apparaissent à chaque grossissement, si bien qu'aucune pente stable ne se dégage.
Cette accumulation de dents de scie forme la courbe du blanc-manger, ou courbe de Takagi. Son aspect rappelle un entremets posé dans un plat, mais son intérêt est mathématique : elle sépare nettement continuité et dérivabilité.
Définition
Pour tout nombre réel u, notons s(u) la distance de u à l'entier le plus proche. Cette fonction est périodique de période 1 et dessine une dent de scie triangulaire : elle vaut 0 aux entiers et 1/2 aux demi-entiers.
La fonction du blanc-manger, notée ici bl, additionne des copies de cette dent. Pour un réel x, l'indice entier n numérote les copies :
Quand n augmente d'une unité, la fréquence est doublée et l'amplitude divisée par deux. Comme chaque terme est majoré par 1/2n+1, la série converge uniformément sur ℝ. Sa somme est donc continue, même uniformément continue.
La courbe du blanc-manger est le graphe des points de coordonnées (x, bl(x)). Elle est périodique de période 1 et symétrique sur chaque période. Malgré sa continuité, elle ne possède de dérivée finie en aucun point : les changements d'échelle empêchent les pentes des approximations de se stabiliser.
Où on le rencontre
On rencontre cette courbe dans un repère, le plus souvent sur l'intervalle horizontal [0 ; 1]. Elle part de hauteur 0, revient à hauteur 0 en fin de période et présente un relief symétrique autour de 1/2. Entre ces repères apparaissent des pointes emboîtées, de plus en plus petites.
Une approximation polygonale montre seulement un nombre fini d'échelles. La courbe complète correspond à leur limite lorsque toutes les dents sont superposées. Le support encode ainsi, pour chaque abscisse x, la somme des distances prises aux échelles x, 2x, 4x, et ainsi de suite.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est la hauteur bl(x) associée à une abscisse x. Pour la déterminer, on peut suivre quatre étapes. 1. Ramener au besoin x dans [0 ; 1], car la fonction est de période 1. 2. Lire la distance de x à l'entier le plus proche. 3. Recommencer avec 2x, 4x, 8x, en divisant les contributions par 2, 4, 8. 4. Additionner les contributions.
Pour une abscisse dyadique, c'est-à-dire de la forme k/2p, toutes les contributions deviennent nulles à partir d'un certain rang. L'œil peut croire qu'un segment d'une approximation fournit une tangente. Une échelle plus fine ajoute pourtant de nouvelles cassures ; il faut donc distinguer la pente d'un polygone tronqué de la dérivée de la fonction limite.
Un exemple, pas à pas
Calculons exactement la hauteur au point d'abscisse x = 3/8. Les données sont la fonction distance s, les arguments successifs 3/8, 3/4, 3/2, 3, puis les diviseurs 1, 2, 4, 8.
1. La distance de 3/8 à l'entier le plus proche est 3/8. La première contribution vaut donc 3/8.
2. La distance de 3/4 à l'entier le plus proche est 1/4. Après division par 2, la deuxième contribution vaut 1/8.
3. La distance de 3/2 à l'entier le plus proche est 1/2. Après division par 4, la troisième contribution vaut 1/8. Dès l'argument 3, tous les arguments suivants sont entiers : les autres contributions sont nulles.
4. La somme est exacte :
Le point (3/8 ; 5/8) appartient donc à la courbe. Pour contrôler le résultat, on peut vérifier sur les trois premières approximations que les hauteurs successives sont 3/8, 1/2 et 5/8, puis restent égales à 5/8.
En pratique
Pour construire la courbe, on trace d'abord la dent s(x), puis on ajoute successivement s(2x)/2, s(4x)/4, etc. Une approximation finie convient pour visualiser la forme ; la série est nécessaire pour raisonner sur la fonction complète.
Pour calculer une valeur exacte, une abscisse dyadique comme 3/8 est particulièrement commode, car la somme finit par s'arrêter. Pour une autre abscisse, on borne l'erreur après le rang N : la somme des termes omis ne dépasse pas 1/2N+1.
Pour tester une intuition sur la pente, on compare plusieurs niveaux de construction au même point. Un agrandissement isolé peut sembler presque rectiligne ; la comparaison des niveaux révèle les oscillations ajoutées à chaque nouvelle échelle.
À ne pas confondre
La courbe du blanc-manger n'est pas la dent de scie s elle-même. La dent de scie est une fonction triangulaire, affine par morceaux ; la courbe de Takagi est la somme de toutes ses copies réduites et accélérées. À x = 3/8, la première dent vaut 3/8, tandis que la somme vaut 5/8.
Elle n'est pas non plus une courbe discontinue. Les pointes visibles, même présentes à toutes les échelles, ne créent aucun saut. Le test décisif est qu'une variation suffisamment petite de l'abscisse entraîne toujours une petite variation de la hauteur, uniformément sur ℝ.
Limites et pièges
Une approximation d'ordre fini est affine par morceaux et possède des pentes sur l'intérieur de ses segments. Ce constat ne s'étend pas à la limite : chaque terme suivant introduit des cassures plus fines. Il faut étudier les quotients de différences de la somme infinie, pas seulement ceux d'un tracé polygonal.
L'expression « sans tangente » résume l'absence de dérivée finie, mais elle demande une nuance. En certains points, des quotients de différences peuvent diverger avec un signe déterminé, ce que certaines conventions décrivent comme une tangente verticale. Le verdict précis est que la fonction n'est dérivable, au sens d'une dérivée réelle finie, en aucun point.
La formule dépend de la normalisation choisie. Ici, s est la distance à l'entier le plus proche et son maximum vaut 1/2. Une définition qui emploie une autre onde triangulaire ou d'autres coefficients produit une variante ; avant de comparer des hauteurs, il faut vérifier la fonction de base et les facteurs d'échelle.
Pour aller plus loin
La fonction continue précise ce que l'absence de saut garantit, sans impliquer l'existence d'une dérivée.
La fractale déterministe replace les détails répétés à plusieurs échelles dans une famille de constructions réglées.
La notice Takagi Teiji situe le mathématicien auquel cette courbe est également attribuée.
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