courbe de Bolzano-Lebesgue

Tracez la diagonale d'un carré, puis remplacez-la par trois morceaux qui se rejoignent. Recommencez sur chacun de ces morceaux : la ligne reste le graphe d'une fonction continue, mais elle gagne des changements de pente à chaque étape.

La courbe de Bolzano-Lebesgue est la forme limite de cette construction répétée sans fin. Elle ne présente ni saut ni trou, bien que son tracé devienne toujours plus irrégulier. Sa particularité est de rester continue et croissante alors que sa dérivée vaut 0 presque partout et n'existe pas comme dérivée finie en certains points.

La construction part du segment joignant les points (0, 0) et (1, 1). À chaque étape, chaque segment est partagé en trois intervalles horizontaux égaux. Si la pente du segment initial vaut m et si le réel choisi est noté t, les deux segments extrêmes ont pour pente tm. La continuité et la conservation des deux extrémités imposent alors au segment central la pente (3 − 2t)m.

En notant f_n la fonction affine par morceaux obtenue après n répétitions, la source indique que la suite des fonctions f_n converge uniformément sur [0, 1]. Sa limite est la fonction de Bolzano, et son graphe est la courbe de Bolzano-Lebesgue. Pour t = 2/3, les facteurs appliqués aux pentes sont 2/3 sur les morceaux extrêmes et 5/3 sur le morceau central. La fonction limite est continue et croissante sur [0, 1] ; elle est singulière, avec une dérivée nulle presque partout, mais n'admet pas de dérivée finie en certains points. En particulier, sa dérivée à droite en 0 existe et vaut 0. Elle décrit aussi la courbe comme l'attracteur des trois contractions affines F_t, G_t et H_t.

On rencontre la courbe dans un repère dont l'axe horizontal va de 0 à 1. Elle relie toujours (0, 0) à (1, 1), et chaque approximation est une ligne brisée continue. D'une étape à la suivante, chaque segment laisse place à trois segments plus courts. Les cassures deviennent donc plus nombreuses tandis que les extrémités restent fixes.

Ce support porte deux informations à la fois : la valeur d'une fonction réelle pour chaque abscisse de [0, 1] et l'histoire de sa construction par itérations. À l'étape finie, les sommets révèlent la règle locale ; la courbe limite exprime le résultat de toutes les répétitions.

La grandeur à lire est l'ordonnée de la fonction pour une abscisse comprise entre 0 et 1. La convention du dessin place l'origine en (0, 0), conserve le point final (1, 1) et partage horizontalement chaque segment en trois parts égales.

1. Repérez d'abord le numéro de l'étape : une ligne brisée finie n'est qu'une approximation de la courbe limite.
2. Suivez un segment de gauche à droite et comparez sa pente avec celle du segment dont il provient.
3. Pour t = 2/3, appliquez le facteur 2/3 aux deux morceaux extrêmes et 5/3 au morceau central, puis vérifiez que leurs variations verticales reconstituent celle du segment parent.

L'œil peut prendre une approximation peu détaillée pour la courbe elle-même. Le bon réflexe consiste à distinguer les sommets visibles, propres à une étape, de la fonction limite obtenue après une infinité d'itérations.

Prenons t = 2/3. Les données sont le segment de (0, 0) à (1, 1), une pente initiale égale à 1 et un partage horizontal en trois parts égales. Les facteurs de pente sont 2/3, 5/3 et 2/3.

1. À l'étape 0, la variation verticale totale vaut 1. Sur les tiers extrêmes, elle vaut donc (2/3) × (1/3) = 2/9. Sur le tiers central, elle vaut (5/3) × (1/3) = 5/9. La somme 2/9 + 5/9 + 2/9 = 1 contrôle la continuité entre les extrémités.

2. L'étape 1 passe successivement par les points (0, 0), (1/3, 2/9), (2/3, 7/9) et (1, 1).

3. On applique ensuite la même règle à chacun des trois segments. Les dix ordonnées, exprimées sur 81, deviennent 0, 4, 14, 18, 28, 53, 63, 67, 77 et 81 aux abscisses successives 0, 1/9, 2/9, …, 1.

4. Le résultat de l'étape 2 est encore une fonction continue de (0, 0) à (1, 1). Le schéma compare les trois premières étapes. Pour contrôler le calcul, les neuf variations verticales doivent toutes être positives et leur somme doit redonner exactement 81/81 = 1.

Pour construire une approximation, on part d'une ligne brisée et on applique la règle aux segments présents. Une simple esquisse suffit pour observer le mécanisme ; des fractions exactes sont préférables dès qu'il faut contrôler les sommets.

Pour étudier la continuité, on vérifie que les trois morceaux de remplacement se rejoignent et conservent les extrémités du segment parent. Si l'on cherche seulement une image rapide, le tracé convient ; si l'on cherche une justification, il faut suivre la suite entière des fonctions et sa convergence uniforme.

Pour examiner la dérivabilité, on compare des taux de variation sur des intervalles de plus en plus petits. Le dessin signale une irrégularité croissante, mais il ne remplace pas l'étude de ces quotients.

La courbe de Bolzano-Lebesgue n'est pas une trajectoire de mouvement brownien. Son graphe peut évoquer une trajectoire qui change constamment de direction, mais il est produit par une règle itérative déterminée. Le critère qui tranche est donc l'origine du tracé : ici, trois transformations affines répétées ; dans la comparaison donnée par la source, un mouvement brownien.

Une approximation finie possède des segments droits : elle est dérivable à l'intérieur de chacun d'eux et présente des angles aux sommets. Elle ne doit pas être prise pour la courbe limite. Pour parler de la fonction de Bolzano, il faut considérer la convergence de toute la suite des approximations.

Le paramètre t modifie aussi le morceau central, dont le facteur de pente vaut 3 − 2t. À t = 3/2, ce morceau est horizontal ; au-delà, son sens de variation s'inverse. Les propriétés attribuées dans la source à la courbe de Bolzano-Lebesgue concernent la valeur t = 2/3 et ne se transfèrent pas automatiquement à toute valeur réelle.

Enfin, voir apparaître des segments de pente de plus en plus grande ne suffit pas, à lui seul, à établir l'absence de dérivée en chaque point. Une preuve complète doit examiner les taux de variation au voisinage de chaque abscisse, y compris celles qui suivent durablement des morceaux extrêmes.

La fonction continue précise ce que signifie l'absence de saut pour la limite, sans préjuger de l'existence d'une dérivée.

Le mouvement brownien éclaire la comparaison visuelle mentionnée dans la définition et aide à distinguer ressemblance graphique et mode de construction.

La notion d'attracteur situe la courbe comme l'ensemble invariant associé aux trois contractions affines pour t = 2/3.