Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
mouvement brownien
Le mouvement brownien est le déplacement aléatoire de particules microscopiques en suspension dans un fluide ou un gaz, produit par leurs collisions incessantes avec les molécules du milieu. Son modèle mathématique standard, le processus de Wiener, part de zéro, a des trajectoires continues et des accroissements indépendants, stationnaires et gaussiens centrés, dont la variance est la durée écoulée ; il sert à décrire la diffusion et d'autres fluctuations aléatoires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le déplacement microscopique observé aux collisions moléculaires.
- Identifier les propriétés qui définissent un processus de Wiener standard.
- Reconstituer cinq positions à partir de quatre accroissements simulés.
- Distinguer mouvement brownien, marche aléatoire et mouvement brownien géométrique.
- Éviter de confondre points échantillonnés, trajectoire continue et comportement moyen.
En clair
Une particule microscopique flotte dans un liquide. Même sans courant visible, elle avance un peu, recule et repart de côté selon un trajet irrégulier. Les molécules du liquide la heurtent sans cesse, de tous côtés. À un instant donné, leurs effets ne se compensent pas exactement : la particule reçoit une petite poussée nette.
Ce déplacement imprévisible est le mouvement brownien. On ne prévoit pas chaque détour, mais les probabilités décrivent l'ensemble des trajectoires possibles et l'ampleur de leurs fluctuations.
Définition
Le mouvement brownien nomme d'abord le déplacement aléatoire d'une particule microscopique en suspension dans un fluide ou un gaz, sous l'effet des collisions avec les molécules du milieu. Robert Brown observa ce phénomène en 1827. Albert Einstein en donna en 1905 une explication reliant le mouvement visible à l'agitation thermique moléculaire.
Son modèle mathématique standard est le processus de Wiener. La valeur du processus à l'instant t est notée Wt. Il part de zéro, ses trajectoires sont continues et ses accroissements sur des intervalles de temps disjoints sont indépendants. Pour deux instants s et t tels que 0 ≤ s < t, l'accroissement suit une loi normale centrée dont la variance vaut t − s : . Ainsi, la durée écoulée fixe la dispersion des déplacements possibles, sans fixer leur signe.
Cette définition porte sur une famille de trajectoires aléatoires, non sur une courbe déterminée à l'avance. Une trajectoire individuelle reste continue, mais son irrégularité ne disparaît pas quand on observe des intervalles plus courts. Ce modèle est central en probabilités et en calcul stochastique ; des modèles financiers s'en servent pour représenter une composante aléatoire des fluctuations de prix.
Un exemple, pas à pas
Suivons une réalisation simulée d'un mouvement brownien standard sur un axe. Les données sont les temps 0, 1, 2, 3 et 4, exprimés dans l'unité de temps du modèle, la position initiale W0 = 0, et quatre accroissements simulés : +0,6 ; −1,1 ; +0,4 ; +0,3. Ces valeurs sont des résultats possibles d'une simulation, non des valeurs moyennes.
1. Au temps 1, ajoutons le premier accroissement : W1 = 0 + 0,6 = 0,6 unité spatiale du modèle.
2. Au temps 2, ajoutons −1,1 à la position précédente : W2 = 0,6 − 1,1 = −0,5 unité.
3. Les deux derniers ajouts donnent successivement W3 = −0,5 + 0,4 = −0,1, puis W4 = −0,1 + 0,3 = 0,2 unité. La figure relie uniquement les cinq positions échantillonnées ; ses segments droits ne décrivent pas le trajet continu entre deux mesures.
4. Contrôlons la position finale en additionnant directement tous les accroissements : . Le résultat coïncide avec W4. Cette égalité vérifie le cumul, pas le caractère brownien de la simulation.
En pratique
En physique, le modèle relie l'agitation moléculaire invisible au déplacement observable de particules en suspension. On relève des positions à intervalles réguliers, puis on étudie la dispersion des déplacements plutôt que de chercher une direction privilégiée. Un courant ou une force systématique appelle un modèle comportant aussi une dérive.
En probabilités, le processus de Wiener sert de modèle continu de référence. On raisonne sur les accroissements entre deux instants et sur leurs distributions. Si les données présentent des sauts visibles, un processus à trajectoires discontinues est une alternative plus adaptée.
En mathématiques financières, le mouvement brownien fournit une composante aléatoire pour modéliser des fluctuations. Comme un prix ne se confond pas avec un mouvement brownien standard, le modèle doit préciser la transformation employée, sa dérive et son échelle de volatilité.
À ne pas confondre
Marche aléatoire. Une marche élémentaire évolue par étapes discrètes, par exemple d'une unité à chaque coup. Le processus de Wiener évolue en temps continu et possède des trajectoires continues. Si le temps et les déplacements ne prennent que des valeurs séparées, il s'agit d'une marche discrète, pas encore d'un mouvement brownien.
Mouvement brownien géométrique. Le mouvement brownien standard Wt peut prendre des valeurs positives ou négatives. Le modèle géométrique applique une transformation exponentielle et reste positif lorsque sa valeur initiale l'est. Un modèle direct de prix positifs relève donc souvent de cette seconde construction, et non de Wt seul.
Limites et pièges
Une courbe agitée ne suffit pas. Un tracé irrégulier peut comporter une dérive, des sauts ou des dépendances entre accroissements. Il faut tester les hypothèses du modèle au lieu de conclure à partir de son apparence.
Un échantillonnage n'est pas la trajectoire. Dans l'exemple, cinq positions sont connues aux temps 0, 1, 2, 3 et 4. Les segments qui les relient aident à lire le cumul, mais ils ne reconstituent pas le chemin continu suivi entre ces instants.
Une réalisation n'est pas une moyenne. La valeur finale 0,2 de l'exemple ne mesure ni une tendance générale ni l'accroissement attendu. Pour caractériser le modèle, on étudie la distribution obtenue sur de nombreuses réalisations ou les propriétés théoriques de ses accroissements.
Le modèle standard fixe une échelle. La variance t − s correspond au processus de Wiener normalisé. Pour représenter un phénomène dont la dispersion a une autre ampleur, il faut introduire un coefficient d'échelle et l'estimer dans les unités du problème.
Pour aller plus loin
Au-delà de la courbe de Gauss en finance — Pour situer les limites des modèles gaussiens lorsque les fluctuations financières présentent des comportements extrêmes.
Calcul des probabilités : — Pour replacer les lois et les processus aléatoires dans les outils généraux du calcul des probabilités.
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