Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Transiente (marche aléatoire)
Une marche aléatoire irréductible est dite transiente lorsque, en partant d'un état donné, la probabilité d'y revenir est strictement inférieure à 1 : elle peut donc revenir à cet état, mais ne le visite qu'un nombre fini de fois presque sûrement. Sur un réseau localement fini, elle finit aussi presque sûrement par quitter définitivement toute partie finie fixée. En dimension 1 et 2, la marche aléatoire simple est récurrente (elle repasse presque sûrement infiniment souvent en tout point), alors qu'en dimension supérieure ou égale à 3 elle est transiente. La transience ou la récurrence d'une chaîne de Markov se caractérise par des critères portant sur les probabilités de retour.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la transience par les visites et les probabilités de retour.
- Distinguer les comportements des marches simples en dimensions 1, 2 et 3.
- Vérifier une probabilité de retour en deux pas sans la confondre avec une preuve de récurrence.
En clair
Imaginez une puce qui saute à chaque seconde vers un point voisin, choisi au hasard. Sur une ligne ou une grille plane infinie, elle repasse presque sûrement au point de départ, et cela une infinité de fois.
Dans un réseau à trois dimensions, l'espace offre beaucoup plus de chemins pour s'éloigner. La puce peut revenir quelques fois, mais elle finit presque sûrement par abandonner toute zone bornée fixée. Sa marche est alors dite transiente. Cette propriété décrit le comportement à très long terme, et non l'allure d'un trajet particulier.
Définition
Un état i d'une chaîne de Markov sur un ensemble dénombrable est transient lorsque, en partant de i, cet état n'est visité qu'un nombre fini de fois avec probabilité 1. Pour une chaîne de Markov irréductible, il suffit d'étudier un état donné : tous les états ont alors la même nature, transiente ou récurrente, et l'on dit que la marche est transiente lorsque ses états le sont.
On note Xn la position après n pas, et pii(n) la probabilité de revenir à l'état i au temps n en étant parti de i. Le critère de retour s'écrit
La convergence signifie que le nombre total attendu de visites en i est fini : l'état i est transient. Si la série diverge, l'état est récurrent.
Pour la marche aléatoire simple symétrique sur le réseau entier de dimension d, le théorème de Polya donne un seuil net : elle est récurrente pour d = 1 ou d = 2, et transiente pour d ≥ 3. Sur ce réseau localement fini, cela revient à dire qu'elle finit presque sûrement par quitter toute partie finie fixée.
Un exemple, pas à pas
Considérons la marche simple en dimension 3. Les données sont les suivantes :
• le départ est l'origine ;
• chaque point possède 6 voisins ;
• chacun des 6 déplacements est équiprobable ;
• deux pas sont observés.
• le départ est l'origine ;
• chaque point possède 6 voisins ;
• chacun des 6 déplacements est équiprobable ;
• deux pas sont observés.
1. Au premier pas, le marcheur atteint forcément l'un des 6 voisins de l'origine.
2. Depuis ce voisin, un seul des 6 déplacements possibles ramène exactement à l'origine.
3. La probabilité du retour au deuxième pas vaut donc .
2. Depuis ce voisin, un seul des 6 déplacements possibles ramène exactement à l'origine.
3. La probabilité du retour au deuxième pas vaut donc .
Le résultat est une probabilité exacte de 1/6, soit environ 16,7 %. Le contrôle consiste à compter les 6 issues du second pas : une revient et cinq s'éloignent. Ce retour possible ne contredit pas la transience. Pour conclure, il faut considérer la somme des probabilités de retour à tous les temps, pas seulement au temps 2.
En pratique
Dans une simulation, on suit le nombre de visites d'une zone fixe à mesure que la durée augmente. Si l'objectif est une conclusion mathématique, cette observation ne suffit pas : on lui préfère un critère de retour démontré pour le modèle.
Pour étudier une chaîne de Markov, on calcule ou on majore les probabilités de retour vers un état. Une série convergente conduit à la transience ; lorsqu'elle diverge, on examine la récurrence plutôt que de parler d'éloignement définitif.
Pour la marche simple symétrique sur un réseau entier, la dimension donne immédiatement le verdict. Les dimensions 1 et 2 appellent le modèle récurrent ; à partir de la dimension 3, le modèle transient est le bon cadre.
À ne pas confondre
État transient et état absorbant. Un état transient peut être quitté puis revisité, mais seulement un nombre fini de fois presque sûrement. Un état absorbant, une fois atteint, ne peut plus être quitté.
Transience et dérive. Une marche avec une tendance moyenne à avancer peut être transiente, mais la transience ne signifie pas simplement « avancer dans une direction ». La marche simple en dimension 3 est symétrique et pourtant transiente.
Transience et récurrence nulle. Dans les deux cas, le temps moyen de retour peut être infini. Le test décisif est la probabilité de revenir : elle vaut 1 dans le cas récurrent, mais reste strictement inférieure à 1 dans le cas transient.
Limites et pièges
Un retour ne suffit pas. Une trajectoire transiente peut revenir à son départ, comme dans l'exemple au deuxième pas. Il faut étudier l'ensemble des temps de retour ou leur critère de série.
Une longue absence ne suffit pas non plus. Une trajectoire récurrente peut s'éloigner très longtemps avant de revenir. Une simulation finie fournit un indice, jamais une preuve de transience.
Le seuil dimensionnel a des hypothèses. Le verdict d = 1 ou 2 contre d ≥ 3 concerne la marche simple symétrique sur le réseau entier. Modifier les probabilités de déplacement ou le graphe peut changer le verdict.
« Quitter tout compact » dépend du cadre. Sur un réseau localement fini, une partie bornée contient un nombre fini d'états. Dans un espace d'états plus général, il faut préciser la topologie et le processus avant d'utiliser ce critère.
Pour aller plus loin
chaîne de Markov — Pour replacer les probabilités de retour dans le cadre général des transitions entre états.
mouvement brownien — Pour prolonger l'intuition des trajectoires aléatoires dans un espace continu.
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