Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Temps d'attente
En probabilités, le temps d'attente désigne le temps écoulé avant qu'un événement se produise dans un processus stochastique. Pour un processus de Poisson, le temps d'attente entre deux événements consécutifs suit une loi exponentielle. Dans les chaînes de Markov, le temps d'attente d'un état est le nombre de pas avant de revenir ou d'atteindre cet état pour la première fois.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une attente continue d'un nombre discret de pas.
- Calculer la probabilité de dépasser ou non 30 minutes dans un processus de Poisson.
- Relier taux d'événements, attente moyenne et loi exponentielle.
- Identifier les temps de première atteinte et de premier retour dans une chaîne de Markov.
- Repérer les cas où le taux constant ou une attente finie ne sont pas garantis.
En clair
Un guichet vient de servir un client. Le temps qui s'écoule jusqu'à l'arrivée suivante est un temps d'attente : sa valeur n'est connue qu'une fois la nouvelle arrivée observée.
Le même principe vaut quand on compte des étapes plutôt que des minutes. Dans une chaîne de Markov, l'attente peut être le nombre de pas nécessaires pour atteindre un état donné ou y revenir. Le modèle choisi dépend donc de l'horloge : une durée continue ou un nombre entier de pas.
Définition
Le temps d'attente est une variable aléatoire qui mesure le délai avant un événement déterminé. Il faut préciser l'instant de départ, l'événement attendu et l'unité de l'horloge. La variable peut prendre des valeurs continues, comme une durée en heures, ou discrètes, comme un nombre de pas.
Dans un processus de Poisson homogène de taux λ événements par unité de temps, l'attente T entre deux événements consécutifs suit une loi exponentielle de paramètre λ. Pour toute durée positive ou nulle t, sa probabilité de dépasser t est . Son espérance, c'est-à-dire sa valeur moyenne théorique, vaut .
Dans une chaîne de Markov en temps discret, l'horloge compte des pas. Le temps d'atteinte d'un état est le premier rang auquel cet état est visité ; le temps de retour compte les pas jusqu'à sa première nouvelle visite après le départ. Ces variables peuvent être infinies si l'état visé n'est jamais atteint.
Un exemple, pas à pas
Un flux d'arrivées est modélisé par un processus de Poisson homogène. Les données sont les suivantes : le taux λ vaut 2 arrivées par heure ; T est le temps, en heures, entre deux arrivées ; la durée étudiée est 30 minutes, soit 0,5 heure.
1. Le produit du taux par la durée vaut λt = 2 × 0,5 = 1.
2. La probabilité d'attendre plus de 30 minutes est .
3. L'événement complémentaire donne . Il y a donc environ 63,2 % de chances que l'arrivée suivante survienne dans les 30 minutes.
4. L'attente moyenne théorique vaut heure, soit 30 minutes. Ce résultat ne signifie pas que chaque attente dure 30 minutes. Pour contrôler le calcul, les deux probabilités arrondies 0,368 et 0,632 ont pour somme 1.
En pratique
Pour un flux d'arrivées supposé poissonnien et stable, on estime le taux λ, puis on calcule la probabilité qu'une attente dépasse un seuil. Si le taux varie avec l'heure, un modèle à taux constant ne convient plus : il faut représenter cette variation.
Pour une suite d'essais indépendants où chaque essai réussit avec la même probabilité, on compte plutôt le nombre d'essais jusqu'au premier succès, succès compris. La loi géométrique est alors adaptée, car l'horloge avance par nombres entiers.
Dans une chaîne de Markov, on fixe l'état visé et on compte les transitions jusqu'à sa première visite ou son premier retour. Avant tout calcul, il faut vérifier que cet état peut effectivement être atteint depuis l'état initial.
À ne pas confondre
Temps d'attente et taux d'événements. Le taux λ compte des événements par unité de temps, tandis que T mesure une durée. Dans l'exemple, 2 arrivées par heure est un taux ; 30 minutes est une attente.
Temps d'attente et espérance. Une attente observée est une réalisation aléatoire ; l'espérance est la moyenne théorique du modèle. Une moyenne de 30 minutes reste compatible avec des attentes plus courtes ou plus longues.
Loi exponentielle et loi géométrique. La première modélise ici une durée continue, la seconde un nombre entier d'essais ou de pas. Une attente de 0,5 heure relève du cadre continu ; une attente de 5 essais relève du cadre discret.
Limites et pièges
Taux non constant. Si la fréquence des arrivées change au cours du temps, la formule exponentielle à paramètre constant ne décrit plus directement l'attente. Le symptôme est un taux estimé qui dépend nettement de la plage horaire ; il faut alors employer un modèle qui intègre cette variation.
Attente nulle. Au seuil t = 0, une loi exponentielle donne P(T > 0) = 1. Ce cas charnière vérifie l'origine de la courbe, mais il ne signifie pas qu'un événement a déjà eu lieu.
Atteinte impossible. Dans une chaîne de Markov, le nombre de pas avant d'atteindre un état n'est pas forcément fini. Si aucune trajectoire accessible ne conduit à l'état visé, il faut conserver la valeur infinie au lieu de forcer une moyenne finie.
Première arrivée ou plusieurs arrivées. L'attente jusqu'au premier événement d'un processus de Poisson suit une loi exponentielle. L'attente jusqu'au k-ième événement, pour un entier k supérieur à 1, suit une loi d'Erlang : réutiliser la loi exponentielle sous-estimerait le nombre d'étapes attendues.
Pour aller plus loin
La loi exponentielle précise la distribution continue qui décrit l'intervalle entre deux événements d'un processus de Poisson.
La loi géométrique prolonge l'étude vers une attente mesurée en nombre entier d'essais.
La chaîne de Markov donne le cadre des temps de première atteinte et de premier retour d'un état.
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