Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Récurrente (marche aléatoire)
Une marche aléatoire est dite récurrente si la probabilité de retour à l'état initial est égale à 1. Dans une marche aléatoire récurrente, l'état initial est visité une infinité de fois presque sûrement. Par le critère de Chung-Fuchs, une marche aléatoire sur Z est récurrente si et seulement si la série des probabilités de retour à l'origine diverge. Les marches aléatoires simples en dimensions 1 et 2 sont récurrentes (théorème de Pólya), tandis qu'en dimension 3 et plus elles sont transientes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la probabilité de retour égale à 1 aux visites infiniment répétées de l’origine.
- Calculer les probabilités de retour en deux et quatre pas pour une marche simple sur ℤ.
- Utiliser la divergence de la série des probabilités de retour comme critère de récurrence.
- Situer la frontière de Pólya entre les dimensions 2 et 3.
- Distinguer récurrence, retour ponctuel et transience.
En clair
Un pion part de 0 sur une ligne. À chaque pas, un tirage l’envoie d’une case vers la droite ou vers la gauche. Même après une longue excursion, il peut retrouver 0.
La marche est récurrente lorsque ce retour finit par arriver avec une probabilité égale à 1. Le phénomène ne s’arrête pas au premier retour : l’origine est revisitée une infinité de fois, presque sûrement. Cela n’impose ni un délai maximal ni un trajet régulier ; certains retours peuvent être très espacés.
Définition
On considère une marche aléatoire standard, à accroissements indépendants et identiquement distribués, dont la position après le nombre entier n de pas est notée Sn, avec S0 = 0. Le premier instant strictement positif où la marche revient à l’origine est noté T0. La marche est récurrente lorsque . Après chaque retour, le même mécanisme recommence ; l’origine est donc visitée une infinité de fois presque sûrement.
Dans ce cadre, les probabilités de présence à l’origine fournissent un critère équivalent. Pour chaque entier n, notons pn la probabilité que Sn vaille 0. Sur ℤ, le critère cité de Chung-Fuchs s’écrit . La divergence signifie que la masse totale des probabilités de retour ne reste pas bornée. Elle ne demande pas que pn soit positif à chaque rang.
Le théorème de Pólya précise le cas des marches simples symétriques sur le réseau ℤd. Elles sont récurrentes en dimensions d = 1 et d = 2, mais transientes dès que d ≥ 3. Cette frontière dépend donc du modèle considéré : la seule mention de la dimension ne remplace pas les hypothèses de simplicité et de symétrie.
Un exemple, pas à pas
Données. Le pion part de 0 sur ℤ. Chaque pas vaut +1 ou −1 avec probabilité 1/2, indépendamment des précédents. On observe d’abord quatre pas, soit 24 = 16 suites équiprobables.
1. La suite de pas +1, −1, −1, +1 donne les positions 0, 1, 0, −1, 0. Elle comporte deux retours visibles, après deux puis quatre pas.
2. En deux pas, deux suites sur quatre reviennent à 0 : (+1, −1) et (−1, +1). Ainsi, .
3. En quatre pas, un retour exige deux pas +1 et deux pas −1. Il existe six ordres possibles parmi les seize suites, donc .
4. Plus généralement, après 2n pas, il faut n pas dans chaque sens. La probabilité vaut . La série de ces probabilités diverge ; le critère de retour classe donc cette marche comme récurrente.
Contrôle. L’énumération redonne 2/4 puis 6/16, et les probabilités aux temps impairs sont nulles. Le trajet choisi rend visibles les deux premiers retours sans prétendre, à lui seul, prouver la récurrence.
En pratique
Pour classer une marche aléatoire standard à accroissements indépendants et identiquement distribués, on fixe d’abord son état initial, puis on étudie ses probabilités de retour. Lorsque leur série diverge, le critère de retour conclut à la récurrence ; lorsqu’elle converge, on retient la transience.
Une simulation aide à observer la fréquence et l’espacement des retours. Elle ne prouve toutefois pas la récurrence : une trajectoire finie peut revenir souvent, rarement ou pas encore. Pour décider, il faut préférer un critère probabiliste portant sur tous les temps.
Pour une marche simple symétrique, la dimension donne un verdict immédiat par le théorème de Pólya : dimensions 1 et 2 du côté récurrent, dimensions 3 et plus du côté transient. Si le mécanisme des pas change, ce raccourci ne suffit plus.
À ne pas confondre
Récurrence et transience. Une marche récurrente revient à son état initial avec probabilité 1 ; une marche transiente a une probabilité strictement positive de ne jamais y revenir. Le cas tranche nettement pour les marches simples symétriques : en dimension 1 elles sont récurrentes, tandis qu’en dimension 3 elles sont transientes.
Limites et pièges
Un retour observé ne suffit pas. Le trajet 0, 1, 0 revient après deux pas, mais cette observation isolée ne prouve rien sur tous les trajets possibles. Il faut calculer une probabilité de retour ou appliquer le critère de la série.
Les temps impairs ne sont pas un contre-exemple. Pour la marche simple sur ℤ, la position ne peut pas être 0 après un nombre impair de pas. Les termes correspondants valent 0, mais la sous-série des temps pairs peut tout de même diverger.
La frontière en dimension a des hypothèses. Le seuil entre d = 2 et d = 3 concerne les marches simples symétriques du théorème de Pólya. Pour une autre règle de déplacement, il faut revenir aux probabilités de retour au lieu d’appliquer automatiquement ce seuil.
« Presque sûrement » n’impose aucun délai. Une probabilité de retour égale à 1 ne fournit pas un nombre maximal de pas avant le retour. Il faut distinguer la certitude probabiliste de revenir un jour d’une garantie de retour rapide.
Pour aller plus loin
Transiente (marche aléatoire) — Comparer le comportement opposé et repérer ce que change une probabilité non nulle de ne jamais revenir.
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