Zéro-un (loi du)

Imaginez une pièce lancée sans fin. Modifier les quatre premiers résultats ne change pas le fait qu'une infinité de piles apparaîtront ou non. Cet événement ne dépend que de ce qui se passe aussi loin que l'on regarde dans la suite.

La loi du zéro-un dit que, lorsque les lancers sont indépendants, un tel événement de queue ne peut pas avoir une chance intermédiaire. Sa probabilité vaut nécessairement 0 ou 1 : il est presque impossible ou presque certain. Cela ne signifie pas que le résultat est connu à l'avance pour une suite particulière.

Considérons une suite de variables aléatoires indépendantes, notées X₁, X₂, X₃, etc. Pour chaque entier n, les variables à partir du rang n engendrent l'ensemble des événements observables sans connaître les n − 1 premières valeurs. La tribu de queue est l'intersection de ces ensembles d'événements : $\mathcal{T}={\bigcap }_{n\ge 1}\sigma (X_n,X_{n+1},\dots )\backslash mathcal\; T=\backslash bigcap\_\{n\backslash geq\; 1\}\backslash sigma(X\_n,X\_\{n+1\},\backslash ldots)$.

Un événement appartient à cette tribu lorsqu'aucune modification d'un nombre fini de valeurs ne peut changer sa réalisation. La loi du zéro-un de Kolmogorov affirme alors que, pour tout événement A de la tribu de queue, $\mathbb{P}(A)\in \{0,1\}\backslash mathbb\; P(A)\backslash in\backslash \{0,1\backslash \}$. La conclusion porte sur la probabilité, pas sur une certitude logique : un événement de probabilité 1 peut encore échouer sur des suites exceptionnelles.

La convergence ou la divergence de la série formée par les X_n est un événement de queue, car changer un nombre fini de termes ne modifie pas cette propriété. Pour une suite indépendante, la probabilité que cette série diverge vaut donc 0 ou 1. Le théorème ne précise pas laquelle de ces deux valeurs est la bonne : une analyse supplémentaire du modèle reste nécessaire.

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes X₁, X₂, etc., et soit $\mathcal{T}={\bigcap }_{n\ge 1}\sigma (X_n,X_{n+1},\dots )\backslash mathcal\; T=\backslash bigcap\_\{n\backslash geq\; 1\}\backslash sigma(X\_n,X\_\{n+1\},\backslash ldots)$ sa tribu de queue. Si un événement A appartient à cette tribu, alors :

Pour appliquer l'énoncé, il faut donc vérifier séparément l'indépendance de la suite et l'insensibilité de l'événement à toute modification portant sur un nombre fini de termes.

Le théorème s'applique à une suite infinie de variables aléatoires mutuellement indépendantes. L'événement étudié doit être mesurable et appartenir à la tribu de queue : pour chaque rang n, il doit pouvoir être décidé à partir des seules variables X_n, X_n+1, etc. Changer ou supprimer un préfixe fini ne doit donc pas modifier son verdict. Sous ces conditions, sa probabilité est 0 ou 1.

L'indépendance ne peut pas être omise. Prenons une seule variable Y valant 0 ou 1 avec la même probabilité, puis posons X_n = Y pour tout n. L'événement « la suite vaut finalement toujours 1 » est un événement de queue, mais sa probabilité vaut 1/2. Les variables étant parfaitement dépendantes, la loi de Kolmogorov ne s'applique pas ; il faut étudier directement leur dépendance.

On lance indéfiniment une pièce équilibrée, chaque lancer étant indépendant des autres. L'événement A est : « obtenir pile une infinité de fois ». Les données sont une probabilité de pile égale à 1/2 à chaque lancer et un rang de départ m quelconque.

1. Modifier les m − 1 premiers lancers ne change pas l'existence d'une infinité de piles. L'événement A est donc un événement de queue.

2. Pour un rang final N au moins égal à m, la probabilité de n'obtenir aucun pile entre m et N vaut $2^{-(N-m+1)}2^\{-(N-m+1)\}$.

3. Lorsque N augmente sans borne, cette probabilité tend vers 0. La probabilité d'obtenir au moins un pile après le rang m vaut donc 1.

4. Ce raisonnement vaut pour chaque rang m : presque sûrement, il reste toujours un pile plus loin. Il y a donc une infinité de piles et $\mathbb{P}(A)=1\backslash mathbb\; P(A)=1$. Le contrôle consiste à refaire l'étape 2 avec m = 5 : après k lancers observés, la probabilité du seul scénario tout-face est 2^−k, qui tend bien vers 0.

Pour une suite de lancers indépendants, on commence par demander si la propriété survit à toute modification d'un nombre fini de lancers. Si oui, la loi réduit la recherche à deux verdicts possibles. Si la propriété dépend du premier lancer, un calcul direct est nécessaire.

Pour une série de variables aléatoires indépendantes, sa convergence ou sa divergence ne change pas quand on modifie quelques termes. La loi montre que chacune de ces issues a une probabilité de 0 ou de 1. Pour déterminer laquelle se produit presque sûrement, il faut ensuite utiliser des critères adaptés à la série.

Dans une preuve, la loi sert souvent de dernière étape. On établit d'abord que l'événement est de queue, puis qu'il a une probabilité strictement positive ou strictement inférieure à 1. Le verdict 0 ou 1 transforme alors cette inégalité en conclusion exacte. Sans indépendance mutuelle, cette dernière étape doit être remplacée par une analyse du modèle.

Avec une loi de Bernoulli. Une variable de Bernoulli prend les valeurs 0 et 1, souvent avec une probabilité intermédiaire. La loi du zéro-un concerne au contraire la probabilité d'un événement de queue. Un lancer unique peut avoir une probabilité de pile égale à 1/2 sans contredire le théorème.

Avec les lemmes de Borel-Cantelli. Ces lemmes étudient si une suite d'événements se produit infiniment souvent à partir de la somme de leurs probabilités et, selon le sens utilisé, de leur indépendance. La loi de Kolmogorov donne seulement le verdict 0 ou 1 une fois le caractère de queue établi. Dans l'exemple des piles, Borel-Cantelli peut déterminer le verdict ; la loi du zéro-un, seule, ne le choisit pas.

Un événement concernant un rang fixé n'est pas un événement de queue. « Le premier lancer donne pile » change si l'on modifie un seul terme. Sa probabilité peut donc valoir 1/2 ; il faut la calculer directement.

L'indépendance deux à deux ne suffit pas à elle seule. L'énoncé utilise l'indépendance mutuelle de la suite, c'est-à-dire l'indépendance de toute famille finie de variables. Si seule une propriété d'indépendance plus faible est connue, il faut vérifier un autre théorème ou analyser la tribu de queue directement.

Probabilité 1 ne signifie pas vérité pour chaque réalisation. Il peut exister des suites exceptionnelles où l'événement échoue, même si leur ensemble a une probabilité nulle. Le bon vocabulaire est « presque sûrement », non « pour toute suite ».

Le théorème ne choisit pas entre 0 et 1. Reconnaître un événement de queue exclut seulement les probabilités strictement comprises entre ces deux valeurs. Un argument supplémentaire reste indispensable pour décider si l'événement est presque impossible ou presque certain.

La fiche Événement précise comment une propriété d'issues devient un objet auquel on attribue une probabilité.

La fiche variable aléatoire présente les objets dont une suite indépendante engendre la tribu de queue.