vecteur aléatoire

Lancez deux fois une pièce. Au lieu de garder un seul résultat, notez ensemble le premier lancer et le nombre total de faces obtenues. Une expérience fournit alors une paire : par exemple (1, 2) si les deux lancers donnent face, ou (0, 1) si seule la seconde donne face.

Cette paire est un vecteur aléatoire. Ses coordonnées décrivent plusieurs aspects de la même expérience ; leur loi conjointe indique quelles paires peuvent apparaître et avec quelles probabilités.

Sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, ℙ), un vecteur aléatoire de dimension n est une application mesurable X de Ω vers ℝⁿ. À chaque éventualité ω, il associe le n-uplet X(ω) = (X₁(ω), …, X_n(ω)). Chacune des coordonnées X_i est une variable aléatoire réelle. Réciproquement, n variables aléatoires réelles définies sur le même espace forment un vecteur aléatoire. La mesurabilité garantit que les événements décrits par les valeurs du vecteur possèdent une probabilité.

La loi conjointe est la loi de X sur ℝⁿ : elle conserve simultanément les valeurs possibles de toutes les composantes et leurs dépendances. En dimension deux, si les composantes sont notées X et Y, sa fonction de répartition est donnée, pour deux réels x et y, par $F_{X,Y}(x,y)=\mathbb{P}(X\le x,Y\le y)F\_\{X,Y\}(x,y)=\backslash mathbb\{P\}(X\backslash le\; x,\backslash ,Y\backslash le\; y)$. Les lois marginales s'en déduisent en ne conservant qu'une coordonnée, mais elles ne déterminent généralement pas la loi conjointe.

Le vecteur X est gaussien lorsque toute combinaison linéaire réelle de ses composantes suit une loi normale, éventuellement dégénérée selon la convention adoptée. Cette condition est plus forte que le fait que chaque composante, prise séparément, soit gaussienne.

Un vecteur aléatoire réunit quatre éléments. L'espace Ω rassemble les éventualités, la tribu 𝒜 décrit les événements et la mesure ℙ leur attribue des probabilités. Les composantes X₁, …, X_n, toutes définies sur ce même espace probabilisé, mesurent n aspects de chaque éventualité. Leur regroupement construit l'application X vers ℝⁿ. Enfin, la loi conjointe attribue des probabilités aux ensembles boréliens de ℝⁿ.

Le choix des composantes fixe la dimension et les valeurs possibles du vecteur ; leur loi conjointe complète décrit leurs relations probabilistes. L'ordre des coordonnées fait partie de la description : (premier lancer, total) ne code pas la même information que (total, premier lancer). Une moyenne vectorielle ou une matrice de covariance résume ensuite la loi, mais ne définit pas à elle seule le vecteur ni, en général, toute sa distribution.

Deux lancers indépendants d'une pièce équilibrée donnent chacun face avec probabilité 1/2. Notons X la valeur du premier lancer, égale à 1 pour face et 0 pour pile. Notons Y le nombre total de faces. Les quatre suites pile-pile, pile-face, face-pile et face-face ont chacune la probabilité 1/4.

1. Traduisons chaque suite : pile-pile donne (X, Y) = (0, 0), pile-face donne (0, 1), face-pile donne (1, 1) et face-face donne (1, 2). La figure représente ces quatre valeurs possibles avec le même poids.

2. La loi conjointe attribue 1/4 à chacun de ces quatre points et 0 aux autres paires. En regroupant par abscisse, P(X = 0) = P(X = 1) = 1/2. Par ordonnée, P(Y = 0) = 1/4, P(Y = 1) = 1/2 et P(Y = 2) = 1/4.

3. Les espérances valent E(X) = 1/2 et E(Y) = 1. Comme XY vaut 0, 0, 1 et 2 sur les quatre suites, E(XY) = 3/4. Ainsi, $\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\backslash operatorname\{Cov\}(X,Y)=\backslash mathbb\{E\}(XY)-\backslash mathbb\{E\}(X)\backslash mathbb\{E\}(Y)=\backslash frac34-\backslash frac12=\backslash frac14$.

4. Contrôlons la dépendance : si X = 1, Y ne peut pas valoir 0. Or P(X = 1)P(Y = 0) = 1/8, mais P(X = 1, Y = 0) = 0. Les composantes ne sont donc pas indépendantes.

Pour modéliser plusieurs mesures issues du même individu ou de la même expérience, regroupez-les en vecteur aléatoire. Des analyses séparées conviennent si seules les distributions marginales importent ; la loi conjointe devient nécessaire dès que les coïncidences ou les dépendances comptent.

Pour des données discrètes comme les deux lancers, énumérez les vecteurs possibles et additionnez leurs probabilités pour obtenir une loi marginale. Si les valeurs varient continûment, une densité conjointe peut remplacer cette liste lorsqu'elle existe.

Pour résumer des relations linéaires, calculez la matrice de covariance. Si la forme complète de la distribution est nécessaire, ce résumé ne suffit généralement pas ; il faut conserver la loi conjointe ou choisir un modèle, par exemple gaussien lorsque cette hypothèse est justifiée.

Vecteur aléatoire et vecteur déterministe. Un vecteur déterministe garde les mêmes coordonnées quelle que soit l'issue. Le couple (X, Y) des deux lancers peut prendre quatre valeurs : il est aléatoire. Son espérance (1/2, 1), elle, est un vecteur déterministe.

Loi conjointe et lois marginales. Une loi marginale décrit une seule coordonnée ; la loi conjointe indique comment les coordonnées surviennent ensemble. Deux couples peuvent avoir les mêmes marginales tout en associant autrement leurs valeurs : comparez alors les probabilités P(X = x, Y = y).

Vecteur gaussien et composantes gaussiennes. Dans un vecteur gaussien, toute combinaison linéaire des composantes est normale. Vérifier seulement chaque composante ne suffit pas : il faut tester la propriété conjointe ou disposer d'un modèle qui l'établit.

Covariance nulle. Une covariance égale à 0 exclut une liaison linéaire, mais n'implique pas l'indépendance en général. Si U vaut uniformément −1, 0 ou 1 et V = U², alors Cov(U, V) = 0, tandis que V est entièrement déterminée par U. Il faut examiner la loi conjointe.

Matrice de covariance singulière. Il existe alors une combinaison linéaire non nulle des composantes qui est constante presque sûrement ; cela inclut le cas d'une composante constante ou d'une relation affine exacte entre plusieurs composantes. Le vecteur reste aléatoire, mais ses valeurs sont confinées dans un sous-espace affine. Il faut réduire la dimension ou employer une méthode acceptant les lois dégénérées.

Densité conjointe absente. Tout vecteur aléatoire possède une loi conjointe, mais pas nécessairement une densité par rapport au volume de ℝⁿ. Le couple des deux lancers ne charge que quatre points : on utilise leurs masses de probabilité plutôt qu'une densité continue.

Coordonnées sur des espaces différents. Pour former un même vecteur aléatoire, les composantes doivent être définies sur un espace probabilisé commun. Deux variables provenant d'expériences séparées ne possèdent pas de loi conjointe déterminée tant qu'un couplage n'indique pas comment leurs issues sont associées.

variable aléatoire — Revenir au cas unidimensionnel avant de regrouper plusieurs mesures sur le même espace probabilisé.

Marginale (loi) — Voir comment extraire la distribution d'une composante à partir d'une loi conjointe.

Covariance — Approfondir la mesure des variations linéaires communes entre deux composantes.

espérance mathématique — Relier la moyenne de chaque composante à l'espérance vectorielle.