Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Loi de Rayleigh
La loi de Rayleigh est une loi de probabilité continue à support sur les réels positifs. Elle est obtenue comme la norme d'un vecteur dont les deux composantes sont des variables aléatoires normales indépendantes et de même variance. Sa densité de probabilité est f(x) = (x/sigma^2) * exp(-x^2/(2*sigma^2)) pour x positif. Son espérance est sigma * sqrt(pi/2) et sa variance est (4 - pi)/2 * sigma^2. Elle est utilisée en traitement du signal, en physique et en ingénierie pour modéliser des amplitudes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la loi de Rayleigh à la norme de deux variables normales indépendantes et de même variance.
- Lire sa densité, son espérance, sa variance et sa fonction de répartition.
- Calculer la probabilité qu'une amplitude de paramètre 2 ne dépasse pas 3 unités.
- Vérifier les hypothèses de centrage, d'indépendance et d'égalité des variances.
- Distinguer la loi de Rayleigh de la loi normale, de la loi de Rice et du quotient de Rayleigh.
En clair
Imaginez un point repéré par deux déplacements aléatoires perpendiculaires. Chacun fluctue autour de zéro de la même façon, sans renseigner sur l'autre. La distance du point à l'origine est toujours non négative : lorsque les deux déplacements sont gaussiens, cette distance suit une loi de Rayleigh.
Le paramètre σ fixe l'échelle. Un grand σ étale les distances possibles ; un petit σ les concentre près de l'origine. La valeur zéro reste possible comme limite, mais sa densité est nulle.
Définition
Soient X et Y deux variables aléatoires normales indépendantes, centrées et de même variance σ2, avec σ strictement positif. La variable R, égale à leur distance à l'origine, suit la loi de Rayleigh de paramètre σ : . Son support est l'ensemble des réels positifs ou nuls. La figure rend visible cette construction pour une réalisation particulière.
Pour une valeur r positive ou nulle, sa densité est :
Pour r négatif, la densité est nulle. Elle part de zéro, atteint son maximum en r = σ, puis décroît. L'espérance et la variance valent respectivement :
Une densité n'est pas une probabilité ponctuelle : une probabilité s'obtient en intégrant cette courbe sur un intervalle.
Le principe
Si X et Y sont normales, indépendantes, centrées et de variance commune σ2 avec σ > 0, alors leur norme R suit une loi de Rayleigh de paramètre σ. Pour tout seuil r positif ou nul, sa fonction de répartition et sa probabilité de dépassement sont :
Ces formules transforment directement un seuil d'amplitude en probabilité.
Quand l'utiliser
La construction s'applique à une norme dans un plan : il faut deux composantes normales centrées, indépendantes et de même variance σ2, avec σ > 0. Les deux axes doivent mesurer des composantes comparables dans la même unité. La variable obtenue est une amplitude non négative, dans cette unité.
Si les composantes sont corrélées ou n'ont pas la même variance, les courbes d'égale densité deviennent elliptiques lorsque la covariance est non singulière, et la norme usuelle n'est généralement plus rayleighienne. Une covariance singulière donne un cas dégénéré. Si leur moyenne vectorielle n'est pas nulle, la norme suit plutôt une loi de Rice sous les autres hypothèses. Dans ces contre-cas, il faut modéliser la loi de la norme à partir du modèle conjoint réellement observé.
Un exemple, pas à pas
Un signal possède deux composantes indépendantes, normales, centrées et de variance 4 unités2. Leur écart-type commun est donc σ = 2 unités. On cherche la probabilité que l'amplitude R ne dépasse pas 3 unités. Une réalisation possible, x = 1,8 et y = 2,4 unités, illustre exactement une amplitude de 3 unités.
1. Vérifier la norme de la réalisation.
unités. La figure matérialise ce triangle rectangle.
unités. La figure matérialise ce triangle rectangle.
2. Remplacer le seuil et le paramètre.
.
.
3. Évaluer.
. La probabilité cherchée est donc d'environ 67,53 %.
. La probabilité cherchée est donc d'environ 67,53 %.
4. Contrôler par l'événement complémentaire.
La probabilité de dépasser 3 unités vaut . Les deux probabilités arrondies donnent 0,6753 + 0,3247 = 1, ce qui confirme le calcul à quatre décimales.
La probabilité de dépasser 3 unités vaut . Les deux probabilités arrondies donnent 0,6753 + 0,3247 = 1, ce qui confirme le calcul à quatre décimales.
En pratique
En traitement du signal, on emploie la loi de Rayleigh pour une amplitude formée par deux composantes gaussiennes centrées en quadrature. Une moyenne non nulle observable conduit à tester plutôt un modèle de Rice.
En physique, elle décrit la taille d'un résultat aléatoire plan lorsque ses deux projections indépendantes ont la même dispersion. Une anisotropie visible entre les axes invalide ce choix direct.
En ingénierie, la formule de dépassement convertit un seuil d'amplitude en fréquence théorique de dépassement. Avant de l'utiliser, on vérifie sur les composantes le centrage, l'égalité des variances et l'indépendance.
À ne pas confondre
Loi normale. Une composante normale centrée peut être négative, tandis que la norme rayleighienne est non négative. Par exemple, X peut valoir −1 alors que R ne peut jamais être négative.
Loi de Rice. Elle décrit aussi la norme de deux composantes normales de même variance, mais leur moyenne vectorielle n'est pas nulle. Une composante déterministe persistante tranche donc entre les deux modèles.
Quotient de Rayleigh. Ce quotient associe un nombre à un vecteur et à une matrice en algèbre linéaire ; ce n'est pas une loi de probabilité. La présence d'une matrice plutôt que de deux composantes aléatoires suffit à lever l'ambiguïté.
Limites et pièges
Paramètre nul. La formule suppose σ > 0. À σ = 0, les deux composantes sont constantes et nulles : R vaut 0 avec probabilité 1, ce qui donne une masse ponctuelle et non une densité de Rayleigh.
Perte de direction. La norme conserve l'amplitude mais efface l'angle et le signe des composantes. Deux réalisations comme (1,8 ; 2,4) et (−1,8 ; −2,4) ont la même amplitude 3 ; il faut garder le vecteur pour étudier l'orientation.
Paramètres de convention différente. Certaines écritures utilisent la puissance moyenne Ω = E[R2] = 2σ2. Remplacer Ω par σ dans la densité fausse l'échelle ; il faut identifier la convention et convertir avant tout calcul.
Densité contre probabilité. La valeur fR(3) n'est pas la probabilité R = 3, qui est nulle pour une loi continue. Pour une plage mesurée, il faut intégrer la densité entre ses deux bornes.
Pour aller plus loin
Variable aléatoire — Revoir comment une expérience associe une valeur numérique aléatoire avant d'étudier sa loi.
Densité de probabilité — Relier aire sous une courbe, probabilité d'intervalle et normalisation d'une loi continue.
Espérance mathématique — Situer la moyenne théorique d'une variable et interpréter celle de l'amplitude rayleighienne.
À la base du traitement du signal — Replacer les amplitudes et leurs composantes dans un domaine d'application cité par la fiche.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres