Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Log-normale (loi)
Une variable aléatoire suit une loi log-normale si son logarithme suit une loi normale. Si X est de loi normale de paramètres mu et sigma, alors Y = exp(X) suit une loi log-normale. La densité de probabilité d'une loi log-normale est définie sur les réels strictement positifs. Son espérance est exp(mu + sigma^2/2) et sa médiane est exp(mu). Cette loi modélise des phénomènes multiplicatifs et est utilisée en finance, en biologie et en sciences environnementales pour des données strictement positives asymétriques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une variable log-normale à la normalité de son logarithme.
- Calculer la médiane et l'espérance à partir de μ et σ.
- Vérifier les conditions de positivité et de mécanisme multiplicatif.
- Distinguer loi log-normale, loi normale et loi exponentielle.
En clair
Imaginez une grandeur positive qui change surtout par coefficients successifs : elle augmente de 10 %, puis baisse de 5 %, au lieu de gagner ou perdre toujours la même quantité. Les petites valeurs restent nombreuses, tandis que quelques valeurs beaucoup plus grandes étirent la distribution vers la droite.
Le logarithme transforme ces multiplications en additions. Si les logarithmes obtenus se répartissent selon une loi normale, les valeurs de départ suivent une loi log-normale. Elles sont donc toujours strictement positives et généralement asymétriques.
Définition
Une variable aléatoire positive Y suit une loi log-normale lorsque son logarithme naturel X = ln(Y) suit une loi normale. Si la moyenne de X est notée μ et son écart-type σ, avec σ > 0, on écrit aussi Y = exp(X). Les paramètres μ et σ décrivent donc le logarithme de Y, et non directement Y.
Pour une valeur positive y, la densité est . Elle vaut zéro pour y ≤ 0. Le facteur 1/y traduit le changement d'échelle produit par l'exponentielle et contribue à l'asymétrie.
La médiane de Y vaut exp(μ) : une valeur sur deux se situe de chaque côté. Son espérance vaut exp(μ + σ2/2). Dès que σ est positif, cette espérance dépasse la médiane, car les grandes valeurs de la queue droite pèsent dans la moyenne.
Le principe
Soit X une variable aléatoire normale de moyenne μ et d'écart-type σ, avec σ > 0. Alors la variable Y = exp(X) suit une loi log-normale et prend uniquement des valeurs strictement positives. Réciproquement, si Y suit cette loi, ln(Y) est normale.
Les deux repères directement calculables sont et . Le premier partage la probabilité en deux moitiés ; le second tient compte de toute la queue droite.
Quand l'utiliser
Le modèle s'applique à une grandeur strictement positive dont les variations se combinent de façon multiplicative. Il faut pouvoir prendre le logarithme de chaque observation. Sur cette échelle logarithmique, une forme normale est l'hypothèse décisive ; la seule asymétrie des données brutes ne suffit pas à conclure.
Trois contrôles sont donc concrets : toutes les valeurs sont positives, le mécanisme envisagé multiplie plutôt qu'il n'additionne, et les logarithmes sont compatibles avec une loi normale. Si une série contient zéro ou des valeurs négatives, ln(Y) n'est pas défini sur ces observations. La loi log-normale ordinaire est alors bloquée ; il faut choisir un modèle dont le support accepte effectivement ces valeurs.
Un exemple, pas à pas
On modélise une grandeur Y, mesurée en unités, par une loi log-normale. Les données sont les paramètres du logarithme X = ln(Y) : sa moyenne vaut μ = ln(100) ≈ 4,605 et son écart-type vaut σ = 0,2.
1. La médiane vaut exp(μ) = exp(ln(100)) = 100 unités. Une réalisation a donc autant de chances d'être inférieure que supérieure à 100.
2. Le demi-carré de l'écart-type vaut σ2/2 = 0,22/2 = 0,02.
3. L'espérance vaut exp(μ + 0,02) = 100 × exp(0,02) ≈ 102,02 unités.
4. Le contrôle est immédiat : 102,02 est supérieur à la médiane 100, comme l'impose une dispersion positive. La courbe de densité associée rend visible la queue étirée vers les grandes valeurs.
En pratique
En finance, le modèle est pertinent pour une grandeur positive soumise à des facteurs successifs. Le geste utile consiste à examiner ses logarithmes. Si les variations sont plutôt additives sur l'échelle d'origine, une loi normale est une candidate plus naturelle.
En biologie, il peut décrire une mesure positive dont quelques valeurs sont nettement plus grandes que la majorité. On compare la forme des données avant et après logarithme, au lieu de choisir le modèle sur la seule présence d'une queue droite.
En sciences environnementales, la même vérification s'applique aux données positives asymétriques. La médiane décrit alors une valeur centrale robuste, tandis que l'espérance augmente sous l'effet des observations élevées.
À ne pas confondre
Loi normale. Une variable normale peut prendre des valeurs négatives et sa distribution est symétrique autour de sa moyenne. Une variable log-normale est strictement positive et asymétrique. Dans l'exemple, ce n'est pas Y qui est normale : c'est X = ln(Y).
Loi exponentielle. Elle est elle aussi définie sur les valeurs positives et peut présenter une queue droite, mais le test séparateur reste la transformation logarithmique : pour une loi log-normale, ln(Y) suit une loi normale. Le seul aspect visuel d'une courbe ne tranche donc pas.
Limites et pièges
Zéro et valeurs négatives. Une seule observation de ce type empêche de calculer son logarithme réel. Il ne faut ni l'ignorer ni conclure automatiquement à une loi log-normale ; le support du modèle doit être revu.
Dispersion nulle. Au seuil σ = 0, X vaut constamment μ et Y vaut constamment exp(μ). La formule de densité, qui divise par σ, ne s'applique plus : on obtient une valeur déterministe, pas une densité log-normale ordinaire.
Paramètres mal lus. μ et σ sont la moyenne et l'écart-type de ln(Y). Les prendre pour ceux de Y conduit notamment à annoncer exp(μ) comme moyenne, alors qu'il s'agit de la médiane et que l'espérance vaut exp(μ + σ2/2).
Asymétrie insuffisante. Des données positives avec une longue queue droite ne prouvent pas à elles seules le modèle. Il faut contrôler la normalité des logarithmes et la plausibilité d'un mécanisme multiplicatif.
Pour aller plus loin
variable aléatoire — Pour replacer X et Y dans le langage qui associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire.
variance d'une variable aléatoire — Pour approfondir la mesure de dispersion dont l'écart-type σ est la racine carrée sur l'échelle logarithmique.
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