Marginale (loi)

Imaginez un couple de variables aléatoires dont vous observez seulement la première. Pour connaître les probabilités de cette variable, vous additionnez ou intégrez toutes les possibilités de l'autre, comme si vous la mettiez de côté.

Le résultat est sa loi marginale, ou sa densité marginale lorsqu'une densité existe. Elle décrit une composante seule, sans conserver le détail de ses liens avec les autres. Deux couples peuvent donc avoir les mêmes marginales tout en étant organisés différemment ensemble.

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires ayant une densité jointe f(x,y), où x et y désignent les valeurs possibles de X et de Y. La densité marginale de X s'obtient en éliminant y par intégration :

De même, la densité marginale de Y s'obtient en intégrant selon x : $f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dxf\_Y(y)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; f(x,y)\backslash ,dx$. Pour un vecteur (X₁, …, Xₙ), la marginale d'une composante s'obtient en intégrant la densité jointe par rapport à toutes les autres composantes. L'intégration peut être remplacée par une somme dans un modèle discret. Une marginale décrit donc une composante, mais elle ne suffit généralement pas à reconstruire la loi jointe ; l'indépendance constitue le cas particulier où la loi jointe est déterminée par le produit des marginales.

Si (X, Y) possède une densité jointe f(x,y) et si l'intégrale existe, alors la densité marginale de X est obtenue en intégrant sur toutes les valeurs possibles de Y :

Le symbole f_X(x) désigne la densité recherchée, tandis que dy indique la variable éliminée. Pour obtenir la marginale de Y, on intègre selon x.

La marginalisation s'applique lorsqu'une loi jointe est connue, avec une densité dans le cas continu ou une fonction de masse dans le cas discret. Les valeurs de la variable éliminée doivent couvrir tout son domaine possible, et l'intégrale ou la somme doit exister.

Pour un couple continu, intégrer f(x,y) selon y donne la loi de X, sans supposer que X et Y sont indépendantes. Si la loi est discrète, il faut sommer les probabilités correspondant à une même valeur de X. En revanche, si seule une marginale est fournie, la loi jointe reste indéterminée : il manque la dépendance entre les composantes.

Par exemple, une densité jointe définie seulement sur une région bornée impose d'intégrer sur la tranche de cette région, et non systématiquement de -∞ à +∞. Si aucune loi jointe n'est disponible, une marginale ne peut pas être calculée par cette règle ; une information supplémentaire ou une estimation est nécessaire.

Considérons le couple (X,Y) uniforme sur le carré [0,1] × [0,1]. Sa densité jointe vaut 1 dans ce carré et 0 ailleurs. Nous cherchons la densité marginale de X.

Données : le domaine de X est [0,1] ; pour chaque x de [0,1], le domaine de Y est [0,1] ; f(x,y)=1 dans le carré.

On intègre la densité jointe selon y, de 0 à 1 : $f_X(x)={\int }_0^{1}1dyf\_X(x)=\backslash int\_0^1\; 1\backslash ,dy$.

La primitive de 1 selon y est y, donc $f_X(x)=[y{]}_0^1=1f\_X(x)=[y]\_0^1=1$.

Le résultat est $f_X(x)=1\text{pour }0\le x\le 1f\_X(x)=1\backslash quad\backslash text\{pour\; \}0\backslash le\; x\backslash le\; 1$, et la densité vaut 0 ailleurs. Le contrôle consiste à intégrer cette marginale sur son domaine : ${\int }_0^{1}1dx=1\backslash int\_0^1\; 1\backslash ,dx=1$, ce qui confirme que la probabilité totale vaut 1.

Dans un cas discret, on additionne les probabilités qui correspondent à la même valeur de X. Supposons que, pour X=0, les seules valeurs possibles de Y soient 0 et 1 : $P(X=0,Y=0)=\mathrm{0,2}P(X=0,Y=0)=0\{,\}2$ et $P(X=0,Y=1)=\mathrm{0,3}P(X=0,Y=1)=0\{,\}3$. Alors $P_X(0)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,5}P\_X(0)=0\{,\}2+0\{,\}3=0\{,\}5$. On somme donc selon Y, comme on intègre selon y dans le carré unité.

En statistique, la marginale sert à étudier une variable d'un tableau ou d'un modèle multivarié. On additionne les effectifs ou les probabilités sur les catégories de l'autre variable lorsque l'on ne cherche plus leur association.

En modélisation probabiliste, on calcule une marginale pour obtenir la distribution d'une composante à partir d'une loi jointe. Si l'objectif est au contraire de mesurer l'influence d'une variable sur l'autre, il faut conserver la loi conditionnelle ou la loi jointe.

Pour une loi discrète, la somme est l'opération adaptée ; pour une loi continue, l'intégrale l'est. Le critère observable est la nature des valeurs et de la loi disponibles, pas le domaine d'application annoncé.

La loi marginale décrit une variable seule, alors que la loi conditionnelle décrit cette variable sous une information donnée sur une autre. Dans le carré uniforme de l'exemple, X a une marginale uniforme sur [0,1] ; connaître Y ne change pas la loi de X parce que les deux variables y sont indépendantes.

La loi jointe conserve simultanément les valeurs de plusieurs variables et leur dépendance. La marginale s'en déduit par intégration ou sommation, mais l'opération inverse n'est généralement pas possible : des lois jointes différentes peuvent produire les mêmes marginales.

Une marginale n'est pas une loi jointe incomplète que l'on pourrait compléter de façon unique. Le symptôme est que l'on tente de déduire la corrélation ou la dépendance à partir de f_X et f_Y seules. Il faut alors une hypothèse supplémentaire, comme l'indépendance, ou une loi jointe explicitement donnée.

Les bornes d'intégration dépendent du support de la loi jointe. Dans l'exemple du carré, pour 0≤x≤1, la tranche de y va de 0 à 1 ; pour x<0 ou x>1, elle est vide et la marginale vaut 0. Intégrer aveuglément sur une tranche inexistante produit une interprétation erronée.

Enfin, le mot marginale ne signifie pas nécessairement densité continue. Pour une variable discrète, la marginale est une somme de probabilités. Employer une intégrale sans vérifier la nature de la loi est le piège principal ; l'opération correcte est celle qui additionne toutes les configurations éliminées.

La marginalisation ouvre vers l'étude des lois conditionnelles et de l'indépendance : la loi jointe fournit les marginales, tandis que les marginales seules ne décrivent pas en général les interactions entre variables. Pour approfondir la place de l'indépendance dans les lois de variables aléatoires, consultez Théorème central limite et lois des grands nombres : un grand nombre de lois !.

Une autre entrée utile est le glossaire Marginale (densité), qui permet de comparer cette notion à la présentation consacrée à la densité marginale.