Conjointe (densité)
La loi conjointe d'un couple de variables aléatoires (X, Y) décrit la distribution de probabilité du couple. Dans le cas discret, elle est donnée par la table P(X = xi, Y = yj) ; dans le cas continu, lorsqu'elle admet une densité, celle-ci est notée f(x, y). Les lois marginales s'obtiennent par sommation ou, lorsqu'une densité existe, par intégration. L'indépendance de X et Y équivaut à la factorisation de la loi conjointe en produit des lois marginales ; pour les densités, cette factorisation vaut presque partout.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire une loi conjointe discrète ou une densité conjointe continue.
- Obtenir une loi marginale par sommation ou intégration.
- Tester l’indépendance au moyen de la factorisation.
- Distinguer loi conjointe, loi marginale et loi conditionnelle.
En clair
On lance une pièce deux fois et l’on note séparément les résultats. Une liste qui ne conserve que le premier lancer perd une information essentielle : le résultat obtenu en même temps au second lancer. La loi conjointe garde les deux valeurs ensemble et attribue une probabilité à chaque paire possible.
Elle permet ensuite d’isoler ce qui concerne une seule variable, ou de vérifier si connaître l’une change ce que l’on peut prévoir de l’autre.
Définition
La loi conjointe décrit les probabilités associées aux valeurs prises simultanément par deux variables aléatoires, notées X et Y. Dans le cas discret, pour chaque valeur xi de X et chaque valeur yj de Y, elle donne P(X = xi, Y = yj). Ces probabilités sont positives ou nulles et leur somme sur toutes les paires vaut 1.
Dans le cas continu, lorsque la loi conjointe admet une densité f(x, y) par rapport à la mesure d’aire, celle-ci est positive ou nulle et son intégrale sur tout le plan vaut 1. La probabilité d’un domaine s’obtient alors en intégrant f sur ce domaine. Une valeur isolée de la densité n’est donc pas, à elle seule, une probabilité.
La loi marginale de X s’obtient en additionnant les probabilités sur toutes les valeurs de Y, ou, lorsque la densité existe, en l’intégrant par rapport à y. On procède symétriquement pour Y. Les deux variables sont indépendantes exactement lorsque leur loi conjointe est le produit de leurs lois marginales. Lorsque les densités existent, cette condition s’écrit presque partout, avec l’égalité analogue pour les probabilités du cas discret.
Un exemple, pas à pas
Une pièce équilibrée est lancée deux fois. La variable X vaut 1 si le premier lancer donne pile, et 0 sinon. La variable Y utilise le même codage pour le second lancer. Les quatre couples possibles sont (0, 0), (0, 1), (1, 0) et (1, 1), chacun de probabilité 1/4.
1. Pour obtenir la loi marginale de X en 1, on additionne les deux cases où X vaut 1 : .
2. De même, les deux cases où Y vaut 1 donnent . Les probabilités marginales de la valeur 0 valent aussi 1/2.
3. Dans chacune des quatre cases, le produit des probabilités marginales vaut , égal à la probabilité conjointe de la case. La factorisation étant vérifiée pour toutes les paires, X et Y sont indépendantes.
Une grille des quatre couples rend visibles les sommes par ligne ou par colonne. Le contrôle global consiste à additionner les quatre cases : 4 × 1/4 = 1.
En pratique
Quand une question porte sur deux résultats simultanés, on conserve la loi conjointe. Dans l’exemple des lancers, elle répond à « le premier donne pile et le second face », alors qu’une loi marginale ne décrit qu’un lancer.
Quand seule la fréquence d’une variable importe, on somme ou on intègre l’autre variable. Cette marginalisation évite de transporter toute la description du couple dans un calcul qui ne concerne que X ou que Y.
Quand on veut décider si deux variables sont indépendantes, on compare chaque valeur conjointe au produit des valeurs marginales correspondantes. Une seule différence suffit à exclure l’indépendance ; quelques égalités isolées ne suffisent pas à l’établir.
À ne pas confondre
Loi conjointe et loi marginale. La première attribue une probabilité à une paire (x, y) ; la seconde ne conserve qu’une variable. Pour les lancers, P(X = 1, Y = 0) = 1/4 est conjointe, tandis que P(X = 1) = 1/2 est marginale.
Loi conjointe et loi conditionnelle. La loi conjointe décrit le couple sans supposer une valeur connue. Une loi conditionnelle décrit au contraire X lorsque l’on sait, par exemple, que Y = 1 ; elle se calcule à partir de la loi conjointe lorsque l’événement conditionnant a une probabilité non nulle.
Limites et pièges
Une densité n’est pas une probabilité ponctuelle. Dans un modèle continu, f(x, y) peut dépasser 1 sans contradiction. Il faut intégrer la densité sur un domaine ; la probabilité d’un couple exactement fixé est nulle.
Des marginales identiques ne prouvent pas l’indépendance. Deux variables peuvent avoir chacune les probabilités 1/2 pour 0 et 1 tout en restant liées. Il faut contrôler la factorisation dans chaque case, pas seulement comparer les marges.
Le support compte. Une table ou une densité peut être nulle sur certaines paires. Ces zéros font partie de la loi conjointe et ne doivent pas disparaître lors des sommes ou intégrales qui produisent les marginales.
Pour aller plus loin
Marginale (loi). Pour approfondir le passage d’une loi conjointe à la distribution d’une seule variable.
variable aléatoire. Pour revoir comment une expérience aléatoire est traduite en valeurs numériques auxquelles on associe des probabilités.
Covariance. Pour étudier ensuite une mesure numérique de la variation commune de deux variables.
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