Probabilités et statistiquesObjet mathématique · Glossaire
fonction de lissage
Une fonction de lissage est une fonction qui approxime ou régularise un nuage de points expérimental ou statistique en atténuant les fluctuations aléatoires pour faire apparaître sa tendance sous-jacente. En électronique et en génie électrique, le lissage réduit les ondulations ou les harmoniques d'un signal ou d'un courant afin de le rapprocher d'une forme idéale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la fonction ajustée de la méthode qui la sélectionne.
- Refaire un ajustement affine par moindres carrés sur quatre points.
- Choisir entre carrés des résidus, valeurs absolues, noyau, splines et filtrage selon le contexte.
- Repérer les effets d'un point aberrant et d'une famille de fonctions mal choisie.
En clair
Sur un graphique, des mesures forment souvent un nuage irrégulier : une valeur monte, la suivante baisse, puis la tendance générale réapparaît. Une fonction de lissage trace une évolution plus régulière au milieu de ces fluctuations.
Elle ne cherche pas forcément à passer par chaque point. Elle cherche plutôt à résumer le mouvement d'ensemble, selon un critère choisi. Dans un signal électrique, le geste analogue réduit les ondulations pour rapprocher le signal d'une forme idéale.
Définition
Une fonction de lissage est une fonction choisie pour représenter la tendance sous-jacente d'observations expérimentales ou statistiques. Pour des points dont les abscisses sont notées xi et les valeurs yi, on note f la fonction qui associe à chaque abscisse une valeur ajustée. Les écarts entre valeurs observées et ajustées sont les résidus.
Le choix dépend de la méthode. Les moindres carrés minimisent la somme des carrés des résidus : . Les moindres valeurs absolues minimisent plutôt et sont plus robustes aux points aberrants. Le lissage par noyau combine des observations voisines, tandis qu'une spline de lissage assemble des morceaux polynomiaux.
En électronique et en génie électrique, l'objet lissé est un signal ou un courant. Un filtre passe-bas ou un circuit capacitif réduit ses ondulations ou ses harmoniques afin de le rapprocher d'une forme idéale, comme un courant continu parfait.
De quoi c'est fait
Un lissage statistique réunit quatre éléments. Le nuage de points fournit les observations xi et yi. Une famille de fonctions fixe les formes candidates, par exemple les droites. Un critère d'écart mesure l'accord entre chaque observation et sa valeur ajustée. Enfin, une règle de choix retient la candidate qui minimise ce critère.
Les données déterminent les résidus seulement après le choix d'une fonction candidate. Le critère transforme ensuite ces résidus en une quantité à minimiser. Ces éléments suffisent à construire la fonction ajustée dans la famille choisie ; la couleur ou l'épaisseur de son tracé ne font pas partie du lissage.
Un exemple, pas à pas
On ajuste une droite par moindres carrés aux quatre points (0 ; 1), (1 ; 3), (2 ; 2) et (3 ; 5). Les abscisses n'ont pas d'unité et les valeurs observées non plus.
1. La moyenne des abscisses vaut 1,5 et celle des valeurs vaut 2,75.
2. Le coefficient directeur a est le quotient de la somme des produits des écarts à la moyenne par la somme des carrés des écarts d'abscisse : .
3. L'ordonnée à l'origine b vaut . La fonction ajustée est donc .
4. Aux abscisses 0, 1, 2 et 3, les valeurs ajustées sont 1,1 ; 2,2 ; 3,3 et 4,4. Les résidus observé moins ajusté sont −0,1 ; 0,8 ; −1,3 et 0,6.
5. Le contrôle donne . Cette somme est bien celle que la méthode cherche à minimiser parmi toutes les droites.
Une représentation du nuage et de la droite ajustée rend visibles les écarts verticaux dont les carrés entrent dans ce contrôle.
En pratique
Pour un nuage de mesures, on choisit les moindres carrés lorsque les écarts importants doivent peser fortement dans l'ajustement. Si quelques points aberrants dominent le résultat, les moindres valeurs absolues offrent une solution plus robuste.
Lorsque la tendance attendue n'est pas une droite, le lissage par noyau fait intervenir les observations voisines. Les splines de lissage conviennent lorsque plusieurs morceaux polynomiaux doivent suivre une évolution courbe tout en restant raccordés.
Pour un signal électrique présentant des ondulations ou des harmoniques, on agit sur le signal avec un filtre passe-bas ou un circuit capacitif. Le critère observable est alors le rapprochement vers la forme idéale recherchée, par exemple un courant continu.
À ne pas confondre
Lissage et interpolation. Une interpolation impose le passage par chaque point fourni ; un lissage peut laisser des résidus pour mieux faire apparaître la tendance. Dans l'exemple, la droite ne passe par aucun des quatre points : elle lisse le nuage, mais ne l'interpole pas.
Fonction ajustée et méthode d'ajustement. Pour une abscisse notée x, la fonction est le résultat obtenu ; les moindres carrés sont le critère qui l'a sélectionnée. Changer de critère peut donc changer la fonction sans changer les observations.
Limites et pièges
Un point aberrant peut attirer l'ajustement. Avec les moindres carrés, doubler un résidu multiplie sa contribution au critère par quatre. Si un point isolé déplace nettement la courbe, il faut examiner sa validité ou préférer les moindres valeurs absolues.
Lisser ne garantit pas que la forme choisie soit pertinente. Une droite appliquée à une tendance courbe peut laisser des résidus organisés plutôt qu'aléatoires. Il faut alors changer la famille de fonctions, par exemple vers un noyau ou une spline de lissage.
Une somme faible dépend de l'échelle. Dans l'exemple sans unité, 2,70 décrit seulement le nuage et le critère choisis. Pour des mesures, les résidus portent l'unité de la valeur observée et leurs carrés l'unité au carré ; une comparaison exige donc une même échelle.
Pour aller plus loin
La Droite des moindres carrés approfondit le cas affine utilisé dans l'exemple et le calcul de la droite ajustée.
La spline cubique prolonge l'étude vers des courbes formées de morceaux polynomiaux raccordés.
La Régression linéaire situe l'ajustement d'une droite dans un cadre statistique consacré à la relation entre variables.
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