fonction d'ajustement

Sur un graphique, des mesures forment souvent un nuage plutôt qu'une ligne parfaite. Une fonction d'ajustement trace une tendance au milieu de ces points. Elle ne cherche pas forcément à passer par chacun d'eux : elle cherche à réduire leurs écarts selon une règle annoncée.

Avec les moindres carrés, les écarts importants pèsent davantage, car ils sont élevés au carré. La courbe retenue dépend aussi de la famille autorisée : droite, polynôme, exponentielle ou fonction logistique.

Une fonction d'ajustement est choisie dans une famille de fonctions afin que ses valeurs prédites soient aussi proches que possible des valeurs observées. Pour chaque observation, la variable d'entrée est notée x_i, la valeur observée y_i et la valeur donnée par une fonction candidate f(x_i). L'écart signé, appelé résidu, est y_i − f(x_i).

Le critère des moindres carrés sélectionne les paramètres qui minimisent la somme ${\sum }_{i=1}^n(y_i-f(x_i){)}^2\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}(y\_i-f(x\_i))^2$, où n est le nombre d'observations. Une fonction affine conduit à une régression linéaire. Une famille polynomiale, exponentielle ou logistique produit une autre forme de courbe d'ajustement.

Le résultat dépend donc des données, de la famille choisie et du critère de proximité. « Au mieux » ne signifie pas que la courbe traverse tous les points, ni qu'elle décrit nécessairement la cause du phénomène observé.

Une fonction d'ajustement repose sur quatre éléments. Le jeu de données fournit les couples entrée–valeur observée. La famille de fonctions fixe les formes admissibles, par exemple les droites. Les paramètres, tels qu'une pente et une ordonnée à l'origine, déterminent une fonction précise dans cette famille. Enfin, le critère de proximité attribue un score à chaque candidate.

Les données et la fonction candidate déterminent les valeurs prédites, puis les résidus. Ces résidus alimentent le critère, qui détermine à son tour les paramètres retenus. Le style du tracé ou la couleur de la courbe ne définit pas l'ajustement. Les quatre éléments suffisent à calculer une fonction candidate optimale dans la famille, lorsqu'un minimum existe et que le choix est unique.

On observe quatre couples sans unité : (1 ; 2), (2 ; 3), (3 ; 5) et (4 ; 4). On cherche parmi les fonctions affines celle qui minimise la somme des carrés des résidus.

1. La moyenne des entrées vaut 2,5 et celle des valeurs observées vaut 3,5.
2. Le calcul des moindres carrés donne une pente égale à 0,8 et une ordonnée à l'origine égale à 1,5.
3. La fonction ajustée est donc $f(x)=\mathrm{0,8}x+\mathrm{1,5}f(x)=0\{,\}8x+1\{,\}5$.

4. Les valeurs prédites sont 2,3 ; 3,1 ; 3,9 et 4,7. Les résidus observé moins prédit valent −0,3 ; −0,1 ; 1,1 et −0,7.
5. Le contrôle donne 0,3² + 0,1² + 1,1² + 0,7² = 1,8. À titre de vérification, la fonction constante égale à 3,5 donne une somme de 5 : la droite ajustée fait mieux selon le critère choisi.

Pour résumer une tendance presque rectiligne, on ajuste une fonction affine et l'on examine les écarts entre points et prédictions. Si ces écarts présentent une courbure visible, un polynôme peut mieux convenir.

Lorsqu'une évolution suit une croissance dont le rythme dépend du niveau déjà atteint, une exponentielle peut être comparée à une droite. Une courbe logistique est plutôt candidate lorsque le nuage suggère un ralentissement vers un palier.

Dans tous les cas, le geste ne s'arrête pas au tracé. On annonce la famille et le critère, puis on observe les résidus. On réserve enfin les prédictions au domaine où les données donnent un appui raisonnable.

Ajustement et interpolation. Une interpolation impose à la courbe de passer par les points donnés. Un ajustement accepte généralement des résidus non nuls. Dans l'exemple, la droite prédit 2,3 lorsque l'entrée vaut 1, alors que la valeur observée vaut 2 : elle ajuste les données, mais ne les interpole pas.

Ajustement et corrélation. Une fonction d'ajustement fournit des valeurs prédites à partir d'une entrée. Une mesure de corrélation résume une association entre deux variables sans constituer, à elle seule, une fonction de prédiction. Une droite calculée et un nombre mesurant une association ne répondent donc pas au même besoin.

Point très éloigné. Avec les moindres carrés, doubler la valeur absolue d'un résidu multiplie sa contribution par 4. Un point isolé peut donc déplacer fortement l'ajustement. Il faut examiner les résidus et vérifier la donnée avant d'interpréter la courbe.

Famille trop souple. Un polynôme peut suivre de très près les observations disponibles sans fournir une tendance stable entre elles ou au-delà. Il faut comparer le gain d'ajustement à la complexité ajoutée et contrôler le comportement de la courbe.

Extrapolation. La fonction est ajustée là où se trouvent les entrées observées. Dans l'exemple, elles vont de 1 à 4. Une prédiction pour une entrée égale à 10 prolonge la droite sans observation intermédiaire ; elle doit être présentée comme une extrapolation, non comme une mesure.

Minimum non unique ou mal défini. Si la famille contient plusieurs fonctions donnant le même score minimal, le critère seul ne les départage pas. Si aucun minimum n'est atteint, aucune candidate optimale n'existe dans cette famille. Il faut alors préciser une règle supplémentaire ou changer de cadre.

La Droite des moindres carrés approfondit le cas affine et le calcul de la droite qui minimise les écarts quadratiques à un nuage de points.