Bimédiane

Imaginez cinq points dessinés sur un repère. Quatre sont regroupés près du centre, tandis qu'un cinquième est très éloigné. Pour situer le groupe sans laisser ce point isolé tout déplacer, on cherche une position centrale à partir des médianes. La médiane des abscisses et celle des ordonnées donnent le point bimédian. Les deux bimédianes, l'une horizontale et l'autre verticale, indiquent ainsi le centre typique du nuage. Elles résistent mieux à une valeur aberrante qu'une moyenne ou qu'un ajustement par moindres carrés.

Dans un nuage de points du plan, chaque observation possède une abscisse x et une ordonnée y. La bimédiane fournit une position centrale robuste en traitant séparément ces deux coordonnées. La médiane empirique des abscisses est la valeur qui partage les abscisses ordonnées en deux groupes de même effectif, avec une moyenne des deux valeurs centrales lorsque l'effectif est pair. La même règle appliquée aux ordonnées donne la médiane empirique des y. Le point formé par ces deux valeurs est le point bimédian.

Dans la convention décrite par la définition de référence, la bimédiane horizontale est la droite associée à la tendance centrale verticale, et la bimédiane verticale est celle associée à la tendance centrale horizontale. Pour une droite horizontale d'ordonnée b, la somme des distances verticales absolues aux points s'écrit :

Ici, n est le nombre de points, y_i l'ordonnée du point numéro i et b l'ordonnée de la droite. Une médiane de la série des y minimise cette somme. La méthode est robuste parce que quelques valeurs très éloignées modifient peu une médiane, alors qu'elles peuvent déplacer fortement une moyenne.

Considérons cinq points dont les coordonnées sont (1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 3) et (5, 20). Les données sont les abscisses 1, 2, 3, 4, 5 et les ordonnées 1, 2, 2, 3, 20.

On classe les abscisses : 1, 2, 3, 4, 5.
La médiane des abscisses est 3.
On classe les ordonnées : 1, 2, 2, 3, 20.
La médiane des ordonnées est 2.
Le point bimédian est donc (3, 2).

La bimédiane verticale passe par x = 3 et la bimédiane horizontale par y = 2. Pour contrôler la seconde, les distances verticales à cette droite valent 1, 0, 0, 1 et 18 ; leur somme est 20. Le point isolé est bien pris en compte, mais il ne déplace pas la médiane des ordonnées.

Pour décrire rapidement le centre d'un nuage de mesures, on ordonne séparément les abscisses et les ordonnées, puis on prend leurs médianes. Le point obtenu donne une référence peu sensible à une mesure aberrante.

Pour ajuster une relation prédictive entre deux variables, on préfère une régression adaptée au but recherché. La bimédiane décrit un centre robuste ; elle ne remplace pas automatiquement une droite de régression ni l'étude de la pente.

La bimédiane et la droite des moindres carrés ne répondent pas au même critère. La première s'appuie sur des distances absolues et une tendance centrale robuste ; la seconde minimise une somme de carrés et peut être fortement attirée par le point (5, 20) de l'exemple. Le cas qui tranche est donc la présence d'une valeur aberrante : la bimédiane conserve un centre proche du groupe, tandis que la droite des moindres carrés cherche à réduire l'erreur quadratique totale.

La bimédiane ne doit pas non plus être confondue avec le barycentre. Le barycentre utilise les coordonnées moyennes et peut se déplacer vers une observation extrême ; le point bimédian utilise les médianes coordonnées. Pour les cinq points étudiés, le barycentre vaut (3, 5,6), alors que le point bimédian vaut (3, 2).

Avec un nombre pair de points, la médiane empirique n'est pas l'une des observations : elle est la moyenne des deux valeurs centrales. Pour quatre ordonnées 1, 2, 3 et 20, elle vaut 2,5. Il faut donc appliquer la convention de médiane avant de tracer la droite, au lieu de choisir visuellement un point du nuage.

Une valeur aberrante n'est pas automatiquement une erreur de mesure. Dans l'exemple, l'ordonnée 20 reste une donnée légitime ; la robustesse signifie seulement qu'elle pèse moins sur la position centrale. Il faut examiner son origine avant de la supprimer.

La médiane des coordonnées décrit un centre selon les axes choisis. Une rotation du repère peut modifier les coordonnées médianes, car la procédure n'est pas une distance géométrique totalement indépendante de l'orientation. Pour une analyse où la direction n'a pas de rôle privilégié, il faut choisir une méthode explicitement adaptée à cette invariance.

Le point bimédian ouvre vers l'étude des estimateurs robustes : une méthode est dite robuste lorsqu'une petite proportion d'observations extrêmes ne suffit pas à bouleverser son résultat. On peut alors comparer la médiane, le barycentre et différents ajustements selon la quantité que l'on veut préserver : position centrale, pente ou distance géométrique.