point moyen

Imaginons quatre personnes décrites par deux valeurs, par exemple une durée d’entraînement et un score. Chaque personne devient un point sur un graphique. Pour trouver le point moyen, on calcule séparément la moyenne des durées et celle des scores, puis on réunit ces deux résultats en un nouveau point.

Ce point indique le centre d’équilibre du nuage. Il résume sa position générale, mais il ne correspond pas forcément à une personne réellement observée.

On considère une série statistique double de n observations. La iᵉ observation associe une valeur x_i de la variable X à une valeur y_i de la variable Y. La moyenne des valeurs de X est notée x̄, et celle des valeurs de Y est notée ȳ.

Le point G ainsi défini est le point moyen. Avec des observations de même poids, il est aussi leur barycentre. Il peut se trouver entre les points sans appartenir à la série observée. Dans le cadre usuel d’une régression affine par moindres carrés comprenant une constante, la droite ajustée passe par G. Cette propriété ne doit pas être étendue sans vérification à un ajustement imposé par l’origine ou à un autre modèle.

On observe quatre couples de valeurs sans unité : (1, 2), (2, 4), (3, 3) et (6, 7). Il y a donc quatre observations.

1. Additionner les valeurs de X : 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
2. Diviser par 4 : x̄ = 12 ÷ 4 = 3.
3. Additionner les valeurs de Y : 2 + 4 + 3 + 7 = 16.
4. Diviser par 4 : ȳ = 16 ÷ 4 = 4.

Le point moyen est donc G = (3, 4). Il ne fait pas partie des quatre couples, puisque l’observation dont la première valeur vaut 3 est (3, 3).

Pour contrôler le résultat, la somme des écarts horizontaux à 3 vaut −2 − 1 + 0 + 3 = 0, et la somme des écarts verticaux à 4 vaut −2 + 0 − 1 + 3 = 0. La figure montre aussi que la droite de régression affine de cet exemple traverse G.

Pour résumer un nuage de points, le point moyen donne une position centrale tenant compte des deux variables à la fois. On le préfère à deux moyennes commentées séparément lorsque leur association dans le plan est importante.

Pour contrôler une droite de régression affine calculée avec une constante, on vérifie qu’elle passe par le point moyen. Si ce n’est pas le cas, il faut revoir le calcul ou vérifier qu’un autre modèle a été choisi.

Pour comparer deux nuages, leurs points moyens situent leurs centres respectifs. Cette comparaison ne suffit toutefois pas si les nuages n’ont pas la même dispersion ou la même forme ; il faut alors examiner aussi leur étalement.

Point moyen et couple des médianes. Le point moyen utilise les moyennes des deux coordonnées et varie sous l’effet d’une valeur extrême. Le couple des médianes marginales, calculées séparément pour chaque coordonnée en prenant la moyenne des deux valeurs centrales lorsque l’effectif est pair, résiste davantage à cette valeur. Ajouter un couple très éloigné permet de trancher : le point moyen se déplace nettement.

Point moyen et droite de régression. Le premier est un point unique de coordonnées (x̄, ȳ) ; la seconde est une droite ajustée à l’ensemble du nuage. Dans l’exemple, G = (3, 4) est un point, tandis que la droite contient une infinité de points.

Valeur extrême. Un seul couple très éloigné tire le point moyen vers lui. Le symptôme est un centre visuel décalé par rapport à la majorité des points ; il faut alors regarder le nuage entier et compléter le résumé par des mesures robustes.

Point absent des observations. Même si chaque coordonnée moyenne existe, leur couple n’a aucune raison d’avoir été observé. Dans l’exemple, G = (3, 4) diffère des quatre couples ; il faut le présenter comme un résumé calculé, non comme une donnée.

Une seule observation. Lorsque n = 1, le point moyen est exactement l’unique point. Le calcul reste défini, mais il ne résume aucune dispersion et ne permet pas de déterminer une droite de régression affine unique.

Régression sans constante. Une droite ajustée sous la contrainte de passer par l’origine ne passe pas nécessairement par G. Le bon réflexe consiste à vérifier le modèle choisi avant d’utiliser le passage par le point moyen comme contrôle.

Le Nuage de points montre comment représenter les couples dont le point moyen résume la position.

La Droite des moindres carrés détaille l’ajustement affine dont le passage par le point moyen sert ici de contrôle.

Le barycentre replace le point moyen dans une construction plus générale, où les points peuvent recevoir des poids différents.

La Covariance prolonge l’étude en mesurant la manière dont les deux variables s’écartent ensemble de leurs moyennes.