Nuage de points

Pendant six journées, on relève la température et le nombre de glaces vendues. Chaque journée fournit deux nombres qui voyagent ensemble. Sur un graphique, elle devient un point : sa position horizontale indique la température, et sa hauteur indique les ventes.

L'ensemble de ces points forme un nuage de points. Sa silhouette aide à repérer une tendance, plusieurs groupes ou une observation isolée. Elle suggère une relation entre les deux variables, sans prouver que l'une provoque l'autre.

Un nuage de points représente une série d'observations portant chacune sur deux variables quantitatives. Pour l'observation numéro i, la première valeur, notée x_i, détermine l'abscisse du point, et la seconde, notée y_i, détermine son ordonnée. L'ensemble des n observations s'écrit avec les couples $(x_i,y_i),1\le i\le n(x\_i,y\_i),\backslash \; 1\backslash leq\; i\backslash leq\; n$. Une observation correspond à un point ; deux observations identiques peuvent donc se superposer exactement.

La forme du nuage renseigne sur l'association entre les variables : orientation générale croissante ou décroissante, forme droite ou courbe, dispersion, groupements et points visuellement isolés. Une corrélation mesure certains aspects d'une association, mais sa valeur ne suffit pas à établir une causalité. L'échelle des axes et les unités doivent toujours être lues avant d'interpréter la forme.

Ce graphique constitue souvent un examen préalable à une régression, qui ajuste un modèle à la relation observée. Il peut aussi précéder une analyse en composantes principales : dans ce cadre, les données comportent généralement plus de deux variables et sont projetées sur un plan pour être visualisées.

On rencontre un nuage de points dans un rapport, un tableur ou un logiciel statistique dès que deux mesures sont associées pour les mêmes individus, objets ou dates. On le reconnaît à deux axes gradués, à une unité ou un nom de variable sur chaque axe, et à des points qui ne sont normalement pas reliés dans un ordre imposé.

Chaque position porte une paire de valeurs. La densité, l'orientation et la dispersion de l'ensemble montrent comment ces paires se répartissent ; la couleur ou la forme des marques peut ajouter une catégorie, mais elle ne définit pas le nuage lui-même.

Chaque point est décrit par une paire de coordonnées : une valeur lue sur l'axe horizontal et une valeur lue sur l'axe vertical. 1. Identifiez les deux variables, leurs unités, l'origine et l'échelle de chaque axe. 2. Choisissez un point et projetez mentalement sa position sur les deux axes. 3. Examinez ensuite la direction générale, la courbure éventuelle et l'épaisseur du nuage. 4. Recherchez enfin des groupes séparés ou des points isolés.

L'œil peut exagérer une tendance lorsque les axes sont tronqués ou très étirés. Le bon réflexe consiste à comparer les graduations et l'étendue numérique avant la pente apparente. Une forme ascendante indique une association positive dans les données observées ; elle n'établit ni une relation linéaire exacte ni un lien de cause à effet.

Un kiosque relève, pendant six journées, la température à midi et le nombre de glaces vendues dans l'après-midi. Il veut visualiser la relation entre ces deux mesures, sans encore ajuster de modèle.

Données :
températures en degrés Celsius : 16, 18, 20, 22, 24 et 26 ;
ventes correspondantes : 24, 29, 31, 38, 41 et 47 glaces ;
axe horizontal : température ; axe vertical : ventes.

1. Associez les valeurs prises le même jour : (16, 24), (18, 29), (20, 31), (22, 38), (24, 41) et (26, 47).
2. Placez chaque couple à l'intersection de ses deux coordonnées.
3. Lisez deux points de contrôle : 16 °C correspond à 24 glaces et 26 °C à 47 glaces.
4. Observez la forme globale : les points montent de gauche à droite, tout en restant distincts d'une droite calculée.

Dans cet échantillon, les ventes observées augmentent à chaque hausse de température relevée. Le contrôle est refaisable en vérifiant les six couples dans la liste initiale. Cette tendance descriptive ne suffit pas à conclure que la température est l'unique cause des ventes ni à prévoir une journée hors de l'intervalle de 16 à 26 °C.

Avant une régression, on trace le nuage pour vérifier si une forme droite semble plausible. Si la relation paraît nettement courbe, un modèle non linéaire est à envisager plutôt qu'une droite.

Lors d'un contrôle de données, on cherche les points éloignés du reste. On vérifie d'abord la saisie et les conditions de mesure ; on ne supprime pas automatiquement une observation parce qu'elle est isolée.

Pour comparer plusieurs catégories, on peut distinguer leurs points par une couleur ou un symbole et rechercher des groupes. Si l'objectif porte seulement sur la distribution d'une variable, un histogramme est plus adapté.

Avec de très nombreuses observations superposées, la transparence ou une représentation de densité rend les concentrations plus visibles qu'un empilement de points opaques.

Nuage de points et courbe chronologique. Dans un nuage, la proximité de deux points ne signifie pas qu'ils se suivent. Si l'ordre du temps doit être montré et que les observations sont reliées chronologiquement, il s'agit d'une courbe temporelle plutôt que d'un simple nuage.

Nuage de points et droite de régression. Le nuage représente les observations brutes ; la droite résulte d'un ajustement calculé. Dans l'exemple du kiosque, les six points sont les données, tandis qu'une droite ajoutée constituerait un modèle distinct.

Association et causalité. Une orientation ascendante montre que deux valeurs ont tendance à augmenter ensemble dans l'échantillon. Elle ne prouve pas que la première variable cause la seconde : d'autres facteurs ou le protocole de collecte peuvent intervenir.

Superposition. Deux observations ayant exactement le même couple de valeurs ne forment visuellement qu'un point. Si les effectifs comptent, il faut modifier la taille, la transparence ou ajouter une représentation des fréquences.

Petit effectif. Avec une seule observation, aucune tendance entre deux variables ne peut être lue ; avec deux points distincts, une droite les relie toujours. Dans ces cas charnières, il faut recueillir davantage d'observations avant d'interpréter une forme générale.

Point isolé. Un point éloigné peut signaler une erreur, une condition particulière ou une observation authentique. Son aspect dépend aussi des échelles. Il faut revenir aux données et à leur collecte avant de le qualifier d'aberrant ou de l'écarter.

Structure masquée. Plusieurs groupes peuvent produire une tendance globale différente de celle observée dans chacun d'eux. Il faut examiner les catégories pertinentes séparément et éviter d'extrapoler au-delà de l'étendue observée, ici de 16 à 26 °C.

La fiche Régression linéaire montre comment passer d'un nuage observé à une droite ajustée et en interpréter les paramètres.

L'analyse en composantes principales explique comment projeter des données comportant plusieurs variables afin d'en visualiser les structures dominantes.

L'article Les excès de la corrélation approfondit les précautions nécessaires lorsque l'on interprète une association statistique.