nombres d'Euler

Prenons quatre cartes numérotées de 1 à 4 et rangeons-les en alternant montée et descente. Il existe exactement cinq rangements du type « plus petit, plus grand, plus petit, plus grand ». Le nombre 5 appartient à la suite des nombres d’Euler.

La même suite se cache dans la sécante, la fonction 1/cos(x) : ses coefficients de Taylor, une fois multipliés par les factorielles correspondantes, donnent 1, 1, 5, 61, 1385, 50521… Deux lectures très différentes — développer une fonction et compter certains rangements — conduisent ainsi aux mêmes entiers.

Dans la convention positive suivie ici, l’entier k étant positif ou nul, le nombre d’Euler d’indice pair 2k, noté E_2k, est le coefficient de x^2k dans la série de Taylor de la sécante, multiplié par (2k)!. Pour un nombre réel x tel que |x| < π/2, la définition complète s’écrit :

On pose E_2k+1 = 0 pour les indices impairs. Les premières valeurs paires sont E₀ = 1, E₂ = 1, E₄ = 5 et E₆ = 61. Dans la sécante hyperbolique 1/cosh(x), les mêmes valeurs absolues apparaissent avec les signes alternés. En combinatoire, E_2k compte les permutations alternantes de 2k objets pour l’un des deux sens d’alternance. Le nom « nombres sécants » souligne cette branche paire des nombres zigzag. D’autres conventions appellent nombres d’Euler les coefficients signés ; il faut donc toujours regarder la série génératrice annoncée.

On rencontre les nombres d’Euler sous deux visages reconnaissables. En analyse, ils apparaissent près de l’origine dans le développement de 1/cos(x), avec seulement des puissances paires et des dénominateurs factoriels. Le début 1, 1, 5, 61 permet d’identifier la convention positive.

En combinatoire, le support est une liste d’objets tous distincts : les valeurs doivent monter, descendre, puis remonter alternativement. Dans 1/cosh(x), on retrouve les mêmes entiers, mais les termes non nuls, de puissances paires successives, changent de signe. Ces marqueurs indiquent si le texte parle de coefficients de série, de valeurs absolues ou de dénombrement.

La grandeur à lire est l’entier E_n, pas le coefficient brut placé devant xⁿ. 1. Repérez d’abord la fonction développée : sécante ou sécante hyperbolique. 2. Vérifiez la convention de signe donnée par la formule. 3. Relevez le coefficient de xⁿ. 4. Multipliez ce coefficient par n! pour retrouver E_n.

Ainsi, le terme 5x⁴/4! code E₄ = 5, et non 5/24. Le piège visuel vient du dénominateur factoriel : il fait paraître le coefficient plus petit que l’entier enregistré dans la suite. Pour une lecture combinatoire, fixez aussi le sens de départ de l’alternance ; l’autre sens donne une classe symétrique, mais il ne faut pas additionner les deux sans l’annoncer.

Cherchons E₄ en rangeant les quatre nombres 1, 2, 3 et 4. Le sens choisi est « montée, descente, montée » : le premier terme est inférieur au deuxième, qui est supérieur au troisième, lui-même inférieur au quatrième.

1. Les rangements 1324 et 1423 commencent par 1 et respectent les trois comparaisons.
2. Les rangements 2314 et 2413 commencent par 2 et conviennent aussi.
3. Le rangement 3412 complète la liste.
4. Aucun rangement commençant par 4 ne convient, car le premier terme doit être inférieur au deuxième.

On obtient donc cinq permutations alternantes : E₄ = 5. La figure reprend les cinq listes et matérialise chaque comparaison. Le contrôle analytique donne le même résultat : dans 1/cos(x), le terme d’ordre quatre est 5x⁴/4! = 5x⁴/24.

Pour lire une série de Taylor de la sécante, on retrouve le nombre E_n d’indice pair en multipliant le coefficient de xⁿ par n!. Si la série porte sur 1/cosh(x), on conserve les mêmes valeurs mais on suit les signes alternés affichés par cette série.

Pour compter des permutations alternantes d’un ensemble de taille paire, on peut énumérer les ordres qui montent et descendent successivement. Cette lecture est préférable au développement analytique quand le but est de vérifier un petit cas, comme E₄ = 5.

Dans un texte reliant sécante, tangente, nombres de Bernoulli ou formule d’Euler-Maclaurin, on commence par identifier la convention employée. La série génératrice est un repère plus sûr qu’une liste de valeurs isolée.

Le nombre d’Euler au singulier désigne une constante, tandis que les nombres d’Euler forment ici une suite indexée. La présence d’indices comme E₄ et de la série de 1/cos(x) tranche immédiatement.

Les nombres eulériens constituent une autre famille. Si le texte parle des coefficients de la sécante ou de permutations dont les comparaisons alternent à chaque position, il s’agit des nombres d’Euler sécants, pas des nombres eulériens.

Les nombres tangents proviennent du développement de la fonction tangente. Ils sont liés aux nombres sécants, mais le test décisif reste la fonction génératrice : 1/cos(x) pour les nombres sécants, tan(x) pour les nombres tangents.

Convention de signe. Certaines sources définissent des nombres d’Euler signés, avec E₂ = −1, alors que la convention sécante positive donne E₂ = 1. Le symptôme est une alternance de signes dans la liste. Il faut revenir à la série génératrice avant de comparer deux formules.

Indices impairs. Pour tout entier k positif ou nul, la convention donnée ici pose E_2k+1 = 0. On ne peut donc pas employer cette seule suite paire comme décompte de toutes les permutations alternantes de taille impaire. Il faut préciser si « nombres zigzag » désigne la suite combinatoire complète ou seulement sa branche sécante paire.

Sécante hyperbolique. Les valeurs absolues coïncident, pas les coefficients signés terme à terme : 1/cosh(x) commence par 1 − x²/2! + 5x⁴/4! − 61x⁶/6!. Oublier les signes alternés donne une série différente.

Les nombres d’Euler s’insèrent dans un réseau de séries génératrices. La branche sécante dialogue avec les nombres tangents ; les nombres de Bernoulli apparaissent à leurs côtés dans la suite d’Euler-Bernoulli et dans les développements liés à la formule d’Euler-Maclaurin.

Le prolongement le plus instructif consiste à comparer les coefficients de 1/cos(x), de tan(x) et de 1/cosh(x). Cette comparaison sépare ce qui relève des mêmes valeurs absolues, des signes choisis et du type de permutations comptées. Elle prépare aussi l’étude conjointe des suites d’Euler et de Bernoulli.