nombre eulérien

Écrivons les nombres 1, 2 et 3 dans un ordre quelconque. Dans 1–3–2, le passage de 1 à 3 monte, tandis que celui de 3 à 2 descend. Cet ordre possède donc une seule montée.

Un nombre eulérien compte combien d'ordres possibles ont exactement le même nombre de montées. Pour trois nombres, quatre ordres en ont une, un ordre n'en a aucune et un autre en a deux. La valeur dépend donc de deux données : le nombre d'entiers à ranger et le nombre de montées recherché.

Une permutation des entiers de 1 à n est un ordre dans lequel chacun de ces entiers apparaît une fois. Une montée est un passage entre deux termes voisins où le terme de gauche est strictement plus petit que celui de droite. Les positions susceptibles d'être des montées vont de 1 à n − 1.

Le symbole A(n, m) désigne le nombre de ces permutations qui possèdent exactement m montées. Pour un entier n positif, le nombre m est compris entre 0 et n − 1 ; en dehors de cet intervalle, le compte vaut zéro. Deux termes non voisins ne créent pas une montée : seul chaque couple de positions consécutives est examiné.

Le polynôme eulérien rassemble tous ces comptes. Avec la convention de la définition de référence, la puissance de la variable x est n − m :Le terme d'indice m = n est nul lorsque n est positif, car une permutation de n éléments ne possède que n − 1 passages voisins. D'autres ouvrages choisissent la puissance m ; il faut donc vérifier la convention avant de comparer deux formules.

Cherchons les nombres eulériens pour n = 3. Les données sont les six permutations de 1, 2 et 3 : 123, 132, 213, 231, 312 et 321. Pour chacune, il existe deux passages voisins à examiner. Une montée est signalée uniquement lorsque le nombre de gauche est inférieur au nombre de droite.

1. Compter 0 montée : seule la permutation 321 convient.
2. Compter 1 montée : 132, 213, 231 et 312 conviennent.
3. Compter 2 montées : seule la permutation 123 convient.
4. Reporter les comptes : A(3, 0) = 1, A(3, 1) = 4 et A(3, 2) = 1.

Avec la convention de puissance n − m, ces valeurs donnent :Le contrôle consiste à additionner les comptes : 1 + 4 + 1 = 6. Ce total égale la factorielle de 3, notée 3!, qui vaut 6 : toutes les permutations annoncées ont bien été classées.

Pour une petite valeur de n, on peut dresser toutes les permutations, comparer chaque paire voisine et regrouper les ordres par nombre de montées. Cette énumération directe est préférable lorsqu'on veut voir chaque cas et contrôler le total.

Lorsque la liste devient trop longue, les nombres eulériens évitent de conserver chaque permutation séparément. Ils résument la répartition : on lit directement combien d'ordres ont zéro, une, deux montées, et ainsi de suite.

Le polynôme eulérien est utile lorsqu'il faut manipuler tous les comptes à la fois. Si l'on cherche seulement une valeur A(n, m), un calcul ciblé convient mieux ; si l'on étudie toute la distribution, les coefficients du polynôme la rassemblent dans un seul objet.

Nombres d'Euler de l'analyse. Ils forment une autre suite, définie par des développements de fonctions, et non par le nombre de montées d'une permutation. Si les deux paramètres n et m décrivent taille et montées, il s'agit ici d'un nombre eulérien.

Nombre d'Euler en mécanique des fluides. Il s'agit d'une grandeur sans dimension construite à partir de données physiques. La présence d'une pression, d'une masse volumique et d'une vitesse signale ce contexte ; aucun arrangement d'entiers n'est alors compté.

Parité d'une permutation. Une permutation paire ou impaire est classée selon sa décomposition en transpositions, pas selon ses montées. Ainsi, deux permutations ayant une montée peuvent avoir des parités différentes : 132 est impaire, tandis que 231 est paire.

Passages adjacents seulement. Dans 2–3–1, le fait que 2 soit inférieur à un nombre placé plus loin ne compte pas. On examine 2 < 3, puis 3 > 1 : le résultat est une seule montée.

Borne supérieure. Une permutation de n éléments possède exactement n − 1 passages voisins. Pour n = 1, l'unique permutation a donc zéro montée ; pour tout n positif, A(n, n) = 0.

Inégalités strictes. La définition demande que le terme de gauche soit strictement inférieur au suivant. Dans une permutation de 1 à n, aucune égalité n'est possible ; avec des listes comportant des répétitions, on ne calcule plus directement les mêmes nombres eulériens.

Convention du polynôme. Certains textes placent A(n, m) devant x^m, tandis que la définition de référence emploie x^n−m. Avant de comparer des coefficients, il faut lire l'exposant choisi et l'intervalle des indices.

La fiche Permutation paire présente une autre manière de classer les permutations et aide à distinguer parité et nombre de montées.

La notice Euler Leonhard situe le mathématicien dont le nom apparaît dans de nombreuses notions, sans confondre les objets ainsi nommés.