suite d'Euler-Bernoulli

Écrivons 1, puis construisons des lignes de nombres en changeant de sens à chaque ligne. On commence par un zéro et on cumule progressivement les valeurs voisines. Les nombres placés aux deux bords forment alors 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272…

Cette suite réunit deux familles alternées. Un terme sur deux appartient aux nombres d’Euler, liés à la sécante ; les autres sont liés aux nombres de Bernoulli et à la tangente. Leur réunion décrit les coefficients de la série de sec(x) + tan(x).

La suite d’Euler-Bernoulli, notée ici K, est la suite d’entiers 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385… Elle entrelace une suite E de nombres d’Euler et une suite T issue du versant de Bernoulli : $K(2n)=E(n),K(2n+1)=T(n)K(2n)=E(n),\backslash quad\; K(2n+1)=T(n)$, pour tout entier n supérieur ou égal à zéro. Ainsi K(0) = E(0) = 1, K(1) = T(0) = 1, K(2) = E(1) = 1 et K(3) = T(1) = 2.

Ces entiers se lisent aussi dans une série entière exponentielle : le terme K(n) accompagne la puissance xⁿ divisée par n factorielle. La relation complète est . Les indices pairs donnent les coefficients de la sécante et les indices impairs ceux de la tangente. Cette écriture explique les exemples sec(x) = 1 + x²/2 + 5x⁴/24 + … et tan(x) = x + 2x³/6 + 16x⁵/120 + …

Le mot « numérateur » se rapporte ici à la présentation avec n! au dénominateur. Après réduction d’une fraction, son numérateur ordinaire peut donc être différent.

La construction comporte quatre éléments. La ligne initiale contient 1. Chaque nouvelle ligne possède une case de plus et commence, dans son sens de lecture, par 0. Les autres cases sont obtenues par cumul : on additionne la dernière valeur écrite sur la ligne courante et la valeur voisine de la ligne précédente. Enfin, le sens alterne d’une ligne à l’autre.

Le zéro fixe donc le bord de départ, tandis que le sens choisi détermine l’ordre des additions. Le bord opposé fournit le prochain entier de la suite : 1, 1, 1, 2, 5, 16… Les deux versants séparent alors les termes pairs E et les termes impairs T. L’orientation du dessin peut être inversée sans changer les valeurs, à condition d’inverser aussi le sens de remplissage.

Partons des lignes déjà obtenues 1 ; puis 0, 1 ; puis 1, 1, 0. La quatrième ligne se lit de gauche à droite et commence par 0.

1. Après le zéro, on ajoute 0 et la valeur voisine 1 de la ligne précédente : on obtient 1.
2. On ajoute ce 1 à la valeur voisine 1 : on obtient 2.
3. On ajoute ce 2 à la dernière valeur 0 : on conserve 2. La ligne est donc 0, 1, 2, 2.

La ligne suivante se remplit en sens inverse. En partant de 0, les cumuls donnent successivement 2, 4, 5 et 5 ; écrite de gauche à droite, elle vaut 5, 5, 4, 2, 0. Son bord opposé livre le terme suivant : 5.

Le contrôle se fait avec la sécante : le terme d’indice 4 est 5, et le coefficient de x⁴ dans sec(x) vaut bien 5/4! = 5/24.

Pour calculer les premiers coefficients de sec(x) + tan(x), le triangle évite de dériver plusieurs fois ces fonctions. On construit les lignes jusqu’à l’indice voulu, puis on lit leur bord extérieur.

Pour ne développer que sec(x), on garde les termes d’indice pair 1, 1, 5, 61… Pour tan(x), on garde les termes d’indice impair 1, 2, 16, 272… Le choix se voit donc à la parité de la puissance recherchée.

Si l’on cherche le coefficient ordinaire de xⁿ, il faut encore diviser K(n) par n!. Le triangle donne l’entier K(n), pas directement la fraction réduite présente devant la puissance.

Avec les nombres d’Euler seuls. Ceux-ci forment seulement le versant pair E = 1, 1, 5, 61… Si la liste contient aussi 2, 16 ou 272 entre ces valeurs, il s’agit de la suite entrelacée d’Euler-Bernoulli.

Avec les nombres rationnels de Bernoulli. Le versant T est relié à ces nombres, mais ses termes 1, 2, 16… sont des entiers adaptés aux coefficients de la tangente. Une liste contenant des fractions signées relève d’une autre convention et n’est pas la suite K.

Avec le triangle de Pascal. Les deux constructions utilisent des additions locales, mais le triangle d’Euler change de sens à chaque ligne et commence par un zéro. La ligne 0, 1, 2, 2 suffit à les distinguer.

Indice et position. Avec un indice initial égal à 0, K(4) = 5 est le cinquième terme affiché. Compter le premier 1 comme indice 1 décale toute la séparation entre sécante et tangente.

Coefficient ou entier. Pour x⁵ dans la tangente, le triangle donne K(5) = 16, tandis que le coefficient ordinaire vaut 16/5! = 16/120 = 2/15. Il faut conserver le facteur n! pour retrouver la suite.

Orientation du triangle. Un dessin en miroir peut placer les zéros et les versants de l’autre côté. Il reste valable si les lignes alternent toujours leur sens et si la lecture des bords suit cette convention.

Domaine de la série. L’identité en série entière décrit le développement autour de x = 0. Elle ne signifie pas que la somme converge pour toute valeur réelle de x ; les points où cos(x) s’annule bloquent la sécante et la tangente.

Les nombres d’Euler isolent le versant associé aux puissances paires et aux coefficients de la sécante.

La notion de série entière précise le rôle des puissances de x, des coefficients et du domaine de convergence.

La fonction sécante explique la moitié paire du développement et l’origine des valeurs 1, 1, 5, 61…