AnalyseFormule · Glossaire
formule d'Euler-Maclaurin
La formule d’Euler-Maclaurin relie exactement une somme discrète à l’intégrale correspondante en ajoutant des corrections fondées sur les nombres de Bernoulli et les dérivées aux bornes, ainsi qu’un reste. Pour une fonction possédant sur l’intervalle les dérivées requises à l’ordre choisi, elle permet d’évaluer l’écart entre somme et intégrale, notamment en intégration numérique et en approximation asymptotique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la règle des trapèzes à l’intégrale par les corrections de Bernoulli
- Appliquer la première correction à la fonction x² sur l’intervalle [0, 1]
- Repérer les hypothèses de régularité et les erreurs de signe ou de troncature
En clair
Imaginez une courbe et quelques points régulièrement espacés sous celle-ci. La règle des trapèzes remplace les arcs entre ces points par des segments, puis additionne les aires obtenues. Le résultat est proche de l’aire exacte, mais la courbure crée un écart.
La formule d’Euler-Maclaurin corrige cet écart par étapes. Elle ajoute des informations sur les dérivées aux deux extrémités de l’intervalle. Les nombres de Bernoulli règlent le poids de chaque correction. Une somme de valeurs peut ainsi être reliée précisément à une intégrale.
Définition
La formule d’Euler-Maclaurin est une identité qui relie les valeurs d’une fonction prises sur un maillage régulier à son intégrale. Dans sa forme adaptée à la règle des trapèzes composite, l’intervalle va d’une borne réelle a à une borne réelle b. Le nombre entier positif n désigne le nombre de subdivisions et le pas h vaut . La quantité Tn est l’approximation trapézoïdale obtenue avec ce pas.
Les corrections successives font intervenir les nombres de Bernoulli d’indice pair, notés B2p, et les différences entre les dérivées impaires de la fonction aux bornes. Après m corrections, un reste Rm mesure ce qui n’est pas encore représenté. La fonction doit posséder assez de dérivées sur l’intervalle pour que les termes écrits et le reste aient un sens.
L’identité se lit dans les deux sens : elle améliore une quadrature numérique, ou transforme une somme en intégrale accompagnée de corrections. Cette seconde lecture conduit à des approximations asymptotiques, notamment celle employée pour la formule de Stirling. Euler et Maclaurin ont établi indépendamment la formule vers 1735.
Le principe
Soit une fonction f suffisamment régulière sur l’intervalle [a, b]. Avec n subdivisions de pas h et m termes correctifs, la règle s’écrit :
Ici, B2p est le nombre de Bernoulli d’indice 2p. La quantité Tn est la règle des trapèzes composite, et Rm est le reste après la dernière correction retenue.
Quand l'utiliser
La forme donnée s’applique à une fonction définie sur un intervalle fermé [a, b] découpé en n subdivisions égales, avec n entier strictement positif. Les valeurs de la fonction aux points du maillage doivent exister. Pour retenir m corrections et estimer le reste, la fonction doit posséder les dérivées requises sur tout l’intervalle ; leur ordre augmente avec m.
Si la fonction présente une discontinuité ou un angle intérieur, appliquer aveuglément une formule globale fondée sur des dérivées régulières bloque la justification du reste. Il faut alors découper l’intervalle aux points problématiques, utiliser la formule sur chaque morceau où les hypothèses sont satisfaites, ou choisir une quadrature adaptée à la singularité.
Un exemple, pas à pas
On cherche l’intégrale de la fonction f définie par entre 0 et 1. Les données sont : deux subdivisions, un pas égal à 1/2, le nombre de Bernoulli B2 = 1/6 et la dérivée .
1. Les trois valeurs du maillage sont f(0) = 0, f(1/2) = 1/4 et f(1) = 1.
2. La règle des trapèzes donne .
3. La première correction vaut .
4. On la soustrait : .
2. La règle des trapèzes donne .
3. La première correction vaut .
4. On la soustrait : .
Le résultat exact est 1/3. Le contrôle direct par une primitive donne aussi [x3/3]01 = 1/3. Les dérivées d’ordre au moins 3 de x2 étant nulles, aucune correction supplémentaire n’est nécessaire et le reste est nul. La figure rend visible l’excès de l’aire trapézoïdale que la correction retire.
En pratique
En intégration numérique, on calcule d’abord la règle des trapèzes sur un maillage régulier. Si les dérivées aux bornes sont disponibles et que la fonction est régulière, une ou plusieurs corrections peuvent fournir une meilleure estimation sans multiplier autant les points.
Pour estimer une longue somme, on remplace sa partie principale par une intégrale, puis on conserve les corrections utiles. Cette voie est préférable à l’addition terme par terme lorsque l’on cherche surtout le comportement pour un grand nombre de termes.
Lorsqu’une fonction est peu régulière ou possède une singularité, une quadrature adaptée ou un découpage de l’intervalle est préférable. Le critère observable est l’absence des dérivées nécessaires ou leur comportement difficile à contrôler.
À ne pas confondre
Avec la règle des trapèzes seule. Celle-ci utilise uniquement les valeurs de la fonction sur le maillage. Euler-Maclaurin ajoute des corrections issues des dérivées aux bornes. Pour f(x) = x2 sur [0, 1] avec deux subdivisions, la règle seule donne 3/8, tandis que la correction conduit à 1/3.
Avec une simple approximation intégrale d’une somme. Une approximation intégrale conserve seulement le terme principal. Euler-Maclaurin indique aussi des termes de bord et un reste. Lorsque la précision dépend de ces termes, les deux démarches ne donnent pas la même information.
Limites et pièges
Régularité insuffisante. Une dérivée absente à l’intérieur de l’intervalle rend les corrections correspondantes injustifiées. Le symptôme est une discontinuité, un angle ou une singularité. Il faut découper l’intervalle ou employer une méthode adaptée.
Plus de termes ne signifie pas toujours meilleure valeur. Dans une utilisation asymptotique, la série de corrections n’est pas nécessairement convergente. Si les termes cessent de décroître, poursuivre peut dégrader l’approximation ; on s’arrête près du plus petit terme et on contrôle le reste.
Signe de la correction. Dans la convention où l’intégrale est exprimée à partir de Tn, la première correction est soustraite. Pour x2 avec deux subdivisions, oublier ce signe donnerait 5/12 au lieu de 1/3. Il faut vérifier le sens de l’identité avant de recopier un terme.
Cas polynomial. Si les dérivées assez élevées s’annulent, la suite des corrections s’arrête. Pour le polynôme x2, les dérivées d’ordre 3 et plus sont nulles : la première correction suffit et le reste vaut exactement zéro.
Pour aller plus loin
développement asymptotique. Situez les corrections d’Euler-Maclaurin dans une approximation ordonnée selon la taille d’un paramètre.
formule de Stirling. Voyez une application classique où la transformation d’une somme logarithmique fournit une approximation de la factorielle.
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