AnalyseThéorème · Glossaire
théorème d'inversion de Lagrange
Si f et g sont analytiques au voisinage de x, l’équation z = x + y f(z) définit, près de y = 0, une unique branche analytique telle que z(0) = x. Le théorème d’inversion de Lagrange affirme que, pour k ≥ 1, le coefficient de yᵏ dans g(z) est la dérivée d’ordre k − 1 de fᵏ g′ en x, divisée par k!. Il permet ainsi de calculer une solution implicite coefficient par coefficient, sans l’expliciter.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la formule d’extraction du coefficient de chaque puissance du paramètre.
- Distinguer le cadre des séries formelles du cadre analytique convergent.
- Retrouver les coefficients 1, 1, 2, 5 et 14 pour z = 1 + yz².
- Repérer une mauvaise branche et la frontière de convergence y = 1/4.
En clair
Une équation peut décrire une quantité sans donner directement sa formule. Par exemple, la relation z = 1 + yz2 oblige z à dépendre de y, mais z apparaît encore à droite. Le théorème d’inversion de Lagrange dénoue cette boucle : il calcule successivement les coefficients de z comme série en y.
Dans cet exemple, le résultat commence par 1 + y + 2y2 + 5y3 + 14y4. Chaque nouveau coefficient se déduit de la fonction placée dans l’équation, sans avoir à résoudre celle-ci sous une forme explicite.
Définition
Le théorème d’inversion de Lagrange transforme une définition implicite en développement en puissances d’un paramètre. On fixe une variable x, on note y le paramètre du développement et on cherche la solution z proche de x de l’équation . La fonction f fournit la dépendance non linéaire. Une fonction auxiliaire g permet de développer non seulement z, mais toute quantité g(z).
Comme identité de séries formelles sur une algèbre sur les rationnels, où les divisions par les factorielles sont donc licites, ou comme égalité locale lorsque les fonctions sont analytiques et que les séries convergent, la formule est :
Le coefficient de yk s’obtient donc par k − 1 dérivations par rapport à x, puis par une division par k!. Pour retrouver z lui-même, on choisit g(t) = t.
La formule de Lagrange-Bürmann est la présentation adaptée à une fonction réciproque : elle développe localement l’inverse d’une fonction analytique dont la dérivée au point considéré ne s’annule pas. La simple existence de dérivées de tous ordres ne suffit pas, à elle seule, à garantir que la série infinie converge vers la fonction.
Le principe
Si z est la solution issue de z = x lorsque y = 0 de l’équation z = x + yf(z), alors, pour toute fonction g admissible, le coefficient de yk dans g(z) est :
Le symbole [yk] désigne l’extraction du coefficient de yk. L’énoncé vaut formellement dans un anneau de séries adapté ; analytiquement, il vaut au voisinage de y = 0 tant que la branche locale existe et que la série converge.
Quand l'utiliser
Dans le cadre formel, f et g doivent admettre les compositions et dérivations utilisées ; la relation sélectionne l’unique série z dont le terme constant est x. Ce cadre suffit pour calculer coefficient après coefficient, sans question de convergence numérique.
Dans le cadre analytique, f et g sont analytiques près du point considéré. La branche cherchée vérifie z = x à y = 0 ; le théorème des fonctions implicites assure alors une solution locale unique. L’égalité avec la somme infinie n’est affirmée que dans son disque de convergence.
Une fonction seulement indéfiniment dérivable peut bloquer cette conclusion. Par exemple, la fonction égale à t + e−1/t² pour t > 0 et à t pour t ≤ 0 est lisse en 0, mais non analytique : sa série de Taylor ne restitue pas la fonction. Dans un tel cas, il faut parler de coefficients formels ou d’un développement limité, et non d’une égalité convergente automatique.
Un exemple, pas à pas
Cherchons la solution z(y) de z = 1 + yz2 qui vaut 1 lorsque y = 0. Les données sont x = 1, f(t) = t2 et g(t) = t. La courbe exacte et le polynôme obtenu après quatre termes permettront aussi de voir où l’approximation se dégrade.
1. La formule donne, pour k ≥ 1 :
2. Pour k = 1, 2, 3 et 4, ces coefficients valent respectivement 1, 2, 5 et 14. En ajoutant le terme constant z(0) = 1, on obtient :
3. Un contrôle direct consiste à poser P4(y) = 1 + y + 2y2 + 5y3 + 14y4. Le développement de 1 + yP4(y)2 redonne les mêmes coefficients jusqu’au degré 4.
4. La résolution de l’équation quadratique sélectionne la branche , prolongée par z(0) = 1. Sa première singularité est en y = 1/4 : le rayon de convergence de la série autour de 0 vaut donc 1/4.
En pratique
En combinatoire, une série génératrice est souvent définie par une équation où elle apparaît des deux côtés. L’inversion de Lagrange extrait alors directement le coefficient d’un ordre donné ; une résolution explicite est préférable si elle est plus courte et immédiatement développable.
Dans un calcul formel, le théorème fournit autant de termes que nécessaire sans manipuler toute la fonction. On arrête le calcul à l’ordre utile, puis on vérifie les coefficients en les réinjectant dans l’équation implicite.
Pour une valeur numérique proche d’une singularité, une série tronquée peut converger lentement ou devenir imprécise. La formule explicite, si elle existe, ou une méthode numérique de résolution de l’équation devient alors plus adaptée.
À ne pas confondre
Avec le théorème des fonctions implicites. Celui-ci établit localement l’existence et l’unicité d’une solution sous une condition de dérivée non nulle. L’inversion de Lagrange va plus loin dans un cadre en séries : elle donne ses coefficients. Pour z = 1 + yz2, l’un garantit la branche près de y = 0, l’autre produit 1, 1, 2, 5, 14.
Avec la formule de Taylor ordinaire. Taylor calcule les coefficients d’une fonction déjà accessible par ses dérivées. Lagrange-Bürmann les calcule pour une fonction réciproque ou implicite sans exiger que sa formule explicite soit connue.
Limites et pièges
Régularité sans analyticité. Des dérivées de tous ordres ne prouvent pas qu’une fonction égale sa série de Taylor. Si l’analyticité ou une convergence formelle n’est pas établie, il faut limiter la conclusion aux coefficients ou à un ordre fini.
Mauvaise branche. L’équation z = 1 + yz2 a deux solutions explicites lorsque y ≠ 0. Une seule tend vers 1 quand y tend vers 0 ; l’autre diverge. Le terme constant imposé sélectionne la branche développée.
Frontière de convergence. Dans l’exemple, y = 1/4 est le cas charnière où les deux racines se rejoignent et où apparaît la racine carrée singulière. La série centrée en 0 ne converge donc pas au-delà de ce rayon, même si ses premiers termes restent calculables formellement.
Troncature prise pour une égalité. Le polynôme 1 + y + 2y2 + 5y3 + 14y4 n’est pas la solution exacte. Son écart devient visible quand y approche 1/4 ; il faut annoncer l’ordre conservé et contrôler le reste.
Pour aller plus loin
L’inversion de Lagrange se situe au croisement de l’analyse locale et du calcul de coefficients. Les notions suivantes permettent d’approfondir séparément convergence, réciprocité et interprétation combinatoire.
La série entière précise le rayon de convergence et la différence entre identité formelle et fonction analytique.
La fonction analytique explique quand une série de Taylor représente réellement la fonction au voisinage d’un point.
La fonction réciproque éclaire le cas Lagrange-Bürmann et la sélection d’une branche locale de l’inverse.
La Série génératrice montre comment une suite est encodée par des coefficients, usage central du théorème en combinatoire.
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