AnalyseNotion · Glossaire
Exposant
Un exposant est le nombre placé en position supérieure qui indique la puissance à laquelle un nombre (la base) doit être élevé. Pour un réel a et un entier n positif, an désigne le produit de n facteurs égaux à a. La notion s'étend aux exposants entiers négatifs (a−n = 1/(an)), rationnels (racines) et, pour une base réelle strictement positive, aux exposants réels via l'exponentielle et le logarithme. Dans les nombres complexes, la définition d’une puissance à exposant non entier via le logarithme exige une base non nulle et le choix d’une branche du logarithme. Les règles de calcul des exposants (produit des puissances, puissance d'une puissance) sont fondamentales en algèbre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la base, l’exposant et la valeur d’une puissance.
- Appliquer les règles du produit de puissances et de la puissance d’une puissance.
- Interpréter les exposants zéro, négatifs, rationnels et réels avec leurs conditions.
- Éviter les erreurs de domaine et de priorité liées au zéro, aux signes et aux parenthèses.
En clair
Prenez trois carrés portant chacun le nombre 4 et multipliez leurs valeurs : 4 × 4 × 4 = 64. L’écriture 43 condense cette répétition. Le petit 3 placé en haut est l’exposant : il indique combien de facteurs 4 interviennent. Le nombre 4 est la base et 64 est la valeur de la puissance. Pour une base non nulle, un exposant négatif −n donne l’inverse de la puissance d’exposant n : 4−n = 1/(4n). Ainsi, 4−3 = 1/64.
Définition
Un exposant précise l’opération appliquée à une base. Pour une base réelle notée a et un entier strictement positif noté n, l’écriture an est le produit de n facteurs tous égaux à a. Dans 43 = 4 × 4 × 4 = 64, la base est 4, l’exposant est 3 et la puissance vaut 64.
Si la base a est non nulle, un exposant entier négatif noté −n définit l’inverse : . Pour deux entiers p et q, avec p/q sous forme réduite et q strictement positif, , lorsque cette racine et cette puissance sont définies dans l’ensemble de nombres choisi. Dans les réels, une base négative exige que q soit impair, et la base 0 exige p strictement positif. Ainsi, 41/2 = 2 dans les réels.
Pour une base réelle a strictement positive et un exposant réel x, la définition s’étend par l’exponentielle et le logarithme : . Dans les nombres complexes, le logarithme possède plusieurs valeurs ; une branche doit donc être précisée. Pour des exposants entiers m et n, les règles essentielles sont et , sous les conditions qui rendent chaque expression définie.
Un exemple, pas à pas
On veut calculer une expression sans développer inutilement tous ses facteurs.
Données : la base commune est 4 ; les exposants du produit sont 3 et −1 ; l’exposant extérieur vaut 2 ; l’expression est .
Données : la base commune est 4 ; les exposants du produit sont 3 et −1 ; l’exposant extérieur vaut 2 ; l’expression est .
1. Dans le produit de puissances de même base, on additionne les exposants : 3 + (−1) = 2. Ainsi, .
2. Pour une puissance élevée à une puissance, on multiplie les exposants : 2 × 2 = 4. On obtient .
3. On calcule alors 44 = 4 × 4 × 4 × 4 = 256. La valeur cherchée est donc 256.
4. Un calcul direct contrôle le résultat : 43 = 64 et 4−1 = 1/4, donc leur produit vaut 16 ; enfin, 162 = 256. Les deux chemins donnent la même valeur.
En pratique
Quand un même facteur se répète, l’écriture avec exposant remplace la multiplication développée. Pour 4 × 4 × 4, 43 est plus courte ; si aucun facteur ne se répète, ce regroupement n’est pas possible. Sinon, on peut regrouper seulement les facteurs identiques.
En notation scientifique, l’exposant de 10 situe l’ordre de grandeur. L’écriture 6,4 × 105 est préférable à 640 000 lorsque les zéros gênent la lecture ou la comparaison ; l’écriture décimale reste pratique pour une valeur courte.
Dans une équation, l’inconnue détermine l’outil inverse. Si l’exposant est connu mais la base manque, une racine intervient : dans les réels, x2 = 4 a deux solutions, x = 2 et x = −2. Si la base est connue mais l’exposant manque, le logarithme permet de le chercher. Pour résoudre ax = b dans les réels par logarithme, il faut que a soit strictement positive et différente de 1, et que b soit strictement positif.
À ne pas confondre
Base et exposant. Dans 43, le 4 est le facteur répété et le 3 compte les facteurs : 4 est la base, 3 est l’exposant. Échanger leurs rôles donne 34 = 81, et non 64.
Exposant et puissance. L’exposant est seulement le nombre placé en hauteur. La puissance désigne l’écriture complète 43, ou sa valeur 64 selon le contexte. Demander « quel est l’exposant ? » appelle ici 3, pas 64.
Exposant et indice. Un exposant se place en haut et commande une puissance ; un indice se place en bas et sert souvent à numéroter. Ainsi, a3 élève a au cube, tandis que a3 peut nommer le troisième terme d’une suite.
Limites et pièges
Exposant zéro. Pour toute base a non nulle, a0 = 1. En algèbre, 00 est généralement laissé non défini, même si certains contextes lui attribuent une valeur par convention. Dans un calcul de limite, une expression de type 00 constitue en revanche une forme indéterminée. Il faut donc annoncer le contexte au lieu d’appliquer mécaniquement la règle.
Base nulle et exposant négatif. La relation a−n = 1/an exige a ≠ 0. Avec 0−1, le dénominateur serait nul : l’expression n’est pas définie. Il faut vérifier la base avant de prendre l’inverse.
Exposant non entier et base négative. Dans les réels, 41/2 = 2, mais (−4)1/2 n’existe pas. D’autres exposants rationnels peuvent fonctionner avec une base négative, par exemple (−8)1/3 = −2. Il faut d’abord réduire la fraction p/q : dans les réels, une base négative admet cette puissance rationnelle lorsque le dénominateur réduit q est impair ; sinon, il faut travailler dans les complexes.
Signe moins et parenthèses. Les conventions de priorité donnent −42 = −(42) = −16, tandis que (−4)2 = 16. Le symptôme est un signe inattendu ; des parenthèses explicites indiquent si le signe appartient à la base.
Pour aller plus loin
La fonction exponentielle prolonge l’exponentiation à une variable réelle et éclaire la définition des puissances d’exposant réel.
La fonction logarithme népérien fournit l’opération inverse utile lorsque l’exposant est l’inconnue.
La fonction racine n-ième précise le sens des exposants rationnels et les restrictions de domaine dans les réels.
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