cube d'un nombre

Imaginez un cube formé de petits cubes : 4 cubes en longueur, 4 en largeur et 4 en hauteur. Il en contient 4 × 4 × 4, soit 64. Le nombre 64 est le cube de 4, noté 4³.

Mettre un nombre au cube revient donc à l’utiliser trois fois comme facteur. Cette image en trois dimensions explique le mot « cube » : avec une arête de 4 cm, le volume vaut 64 cm³.

Pour un nombre entier ou réel appelé a, son cube est sa puissance d’exposant 3. On le note a³ et on le calcule en multipliant trois facteurs tous égaux à a.

Cette définition s’applique aux entiers positifs, à zéro, aux entiers négatifs et à tous les nombres réels. Si a est une longueur positive exprimée dans une unité donnée, a³ donne le volume du cube géométrique d’arête a, dans l’unité de volume correspondante. Cette lecture géométrique n’autorise pas une longueur négative, même si le cube d’un nombre négatif est parfaitement défini en arithmétique. L’opération inverse sur les nombres réels est la racine cubique : la racine cubique d’un réel b est l’unique réel a tel que a³ = b.

L’écriture a³ réunit quatre éléments. La base a est le nombre choisi. L’exposant 3 indique que cette base apparaît trois fois comme facteur. Les trois facteurs égaux forment la multiplication a × a × a, et son résultat est le cube du nombre.

Dans l’interprétation géométrique, les trois facteurs représentent les trois dimensions égales d’un cube : longueur, largeur et hauteur. Leur valeur commune fixe l’arête ; leur produit fixe le volume. Ainsi, 4³ décrit le même calcul que 4 cm × 4 cm × 4 cm, mais seule la seconde écriture porte une unité et conduit à 64 cm³. La couleur, l’orientation ou le dessin du solide ne changent ni son arête ni son volume.

Un cube géométrique possède une arête de 4 cm. On cherche son volume et, en même temps, le cube du nombre 4.

Données :
la longueur, la largeur et la hauteur valent chacune 4 cm ;
le volume d’un pavé droit est le produit de ces trois dimensions.

1. Écrire le nombre 4 trois fois comme facteur.

2. Multiplier d’abord les deux premiers facteurs, puis le résultat par le troisième : 4 × 4 = 16, puis 16 × 4 = 64.

Le cube de 4 est donc 64. Pour le solide, le résultat est un volume : 64 cm³. Le quadrillage des faces visibles représente quatre parts dans chacune des trois directions et illustre ainsi les trois facteurs du calcul 4 × 4 × 4.

Le contrôle consiste à appliquer l’opération inverse : la racine cubique de 64 vaut 4, car 4³ = 64.

Pour calculer le volume d’un cube, on élève la longueur de son arête au cube. Avec une arête de 4 cm, le calcul 4³ donne 64 cm³. Pour un pavé dont les trois dimensions diffèrent, on multiplie plutôt longueur, largeur et hauteur.

Pour reconnaître un cube parfait entier, on cherche un entier multiplié trois fois par lui-même. Le nombre 64 est un cube parfait, car 64 = 4³. Si aucun entier ne convient, la racine cubique réelle existe encore, mais elle n’est pas nécessairement entière.

Pour retrouver l’arête d’un cube à partir de son volume, on prend la racine cubique. Un volume de 64 cm³ conduit à une arête de 4 cm. Une racine carrée conviendrait à une aire carrée, pas à un volume cubique.

Le cube et le carré d’un nombre. L’exposant tranche : 4³ utilise trois facteurs et vaut 64, tandis que 4² en utilise deux et vaut 16.

Élever au cube et multiplier par 3. Le cube de 4 vaut 4 × 4 × 4 = 64 ; le triple de 4 vaut seulement 3 × 4 = 12.

Le cube d’un nombre et un cube géométrique. Le premier est un nombre obtenu par un calcul. Le second est un solide ; son volume est égal au cube de son arête lorsque les trois dimensions ont la même longueur positive.

Zéro. Le cas charnière est 0³ = 0. Trois facteurs nuls donnent zéro ; il ne faut ni omettre ce cas ni chercher un nombre strictement positif. Une arête nulle décrit toutefois un cas dégénéré, pas un cube solide ordinaire.

Nombres négatifs. Le cube conserve le signe négatif : (−4)³ = −64, car le produit de trois facteurs négatifs est négatif. En revanche, −4 cm ne peut pas être la longueur d’une arête géométrique.

Unités. Écrire 4³ = 64 produit un nombre sans unité. Si 4 désigne une longueur en centimètres, le volume est 64 cm³, et non 64 cm. Il faut cuber l’unité avec la valeur.

Opération inverse. Sur les nombres réels, chaque résultat possède une unique racine cubique réelle, y compris −64, dont la racine cubique vaut −4. Cette racine n’est pas toujours un entier : aucun entier élevé au cube ne donne 2.

Exposant — Pour replacer l’exposant 3 dans la notation générale des puissances.

unités de mesure de volume — Pour interpréter correctement cm³ et convertir les volumes sans traiter les unités comme des longueurs.

cubique — Pour approfondir le vocabulaire associé au degré trois au-delà du seul calcul numérique.