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Knopp (inégalité de)
Une forme classique de l'inégalité de Knopp, aussi appelée inégalité de Hardy, concerne les séries de puissances. Si aₙ ≥ 0, p > 1 et Aₙ = (a₁ + … + aₙ)/n, alors Σₙ≥1 Aₙᵖ ≤ (p/(p−1))ᵖ Σₙ≥1 aₙᵖ, lorsque le membre de droite est fini. Elle borne donc la transformation qui remplace chaque terme par la moyenne des précédents ; elle ne compare pas, en général, deux moyennes géométriques finies et ne constitue pas une généralisation directe de l'inégalité arithmético-géométrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les sommes de puissances p-ièmes comparées.
- Recalculer les moyennes partielles puis la troncature de l'exemple (1,4,9) pour p = 2.
- Repérer les conditions de positivité, convergence et normalisation.
En clair
Prenons trois nombres positifs : 1, 4 et 9. Leurs moyennes arithmétiques partielles sont 1, 5/2 et 14/3 : chacune résume les premiers termes observés. On peut ensuite comparer les sommes de puissances de ces moyennes à celles des termes initiaux pour voir concrètement le mécanisme de Knopp.
L'idée est donc de lisser progressivement une suite par des moyennes, puis de mesurer ce lissage par les sommes Σn≥1 Anp et Σn≥1 anp. L'inégalité de Knopp transforme ainsi une information locale, terme après terme, en une estimation utile pour une série entière.
Définition
Soit (an) une suite de nombres réels positifs ou nuls. Pour chaque entier n ≥ 1, sa moyenne arithmétique partielle est An = (a1 + … + an)/n. Pour p > 1, l'inégalité de Knopp s'écrit Σn≥1 Anp ≤ (p/(p−1))pΣn≥1 anp, dès que le membre de droite est fini. Les deux quantités comparées sont donc les sommes de puissances p-ièmes des moyennes partielles et des termes initiaux ; la constante est explicitement (p/(p−1))p.
La moyenne géométrique Gn = (a1⋯an)1/n peut être étudiée séparément, mais elle n'intervient pas dans cette forme de l'inégalité. La convention an ≥ 0 suffit ici pour définir cette moyenne et les puissances p-ièmes ; les termes strictement positifs ne sont nécessaires que si l'on ajoute des logarithmes ou des divisions par la moyenne géométrique. La portée est une estimation de la transformation de moyenne dans les espaces de suites ℓp.
Le principe
Pour appliquer la forme classique, on part d'une suite (an) avec an ≥ 0, on fixe p > 1 et l'on note An = (a1 + … + an)/n. Si Σn≥1 anp est finie, l'inégalité de Knopp donne Σn≥1 Anp ≤ (p/(p−1))pΣn≥1 anp. La constante et le domaine sont ainsi fixés.
La conclusion porte sur les sommes de puissances p-ièmes : le lissage est borné dans ℓp par la constante (p/(p−1))p. Elle ne dit pas que la moyenne géométrique des An est toujours contrôlée par celle des an pour une suite finie.
Quand l'utiliser
Dans la forme retenue, les termes vérifient an ≥ 0 et l'exposant vérifie p > 1. On suppose Σn≥1 anp finie ; alors la série Σn≥1 Anp est contrôlée par (p/(p−1))pΣn≥1 anp. Aucun logarithme ni aucune moyenne géométrique n'est nécessaire dans cet énoncé.
Avec la suite (1, 4, 9), toutes les données sont positives et les trois moyennes arithmétiques partielles existent. Pour appliquer la forme retenue, il faut surtout conserver aₙ ≥ 0, p > 1 et la finitude de Σn≥1 anp ; les distinctions avec les moyennes géométriques sont regroupées dans la section « à ne pas confondre ».
Un exemple, pas à pas
Considérons les trois termes positifs a1 = 1, a2 = 4 et a3 = 9. Ils servent de troncature vérifiable pour observer le mécanisme.
La première moyenne partielle vaut A1 = 1.
La deuxième vaut A2 = (1 + 4)/2 = 5/2.
La troisième vaut A3 = (1 + 4 + 9)/3 = 14/3.
Choisissons p = 2 pour calculer les quantités de l'inégalité sur cette troncature : Σn=13 An2 = 12 + (5/2)2 + (14/3)2 = 1045/36.
Du côté de la suite initiale, Σn=13 an2 = 12 + 42 + 92 = 98. On obtient bien 1045/36 ≤ (2/(2−1))2 × 98 = 392 : ce calcul fini est compatible avec la borne annoncée, sans prouver à lui seul l'inégalité pour une série infinie.
En pratique
Dans une étude de série positive, on calcule d'abord les moyennes arithmétiques partielles pour atténuer les variations entre les premiers termes. On compare ensuite les sommes Σn≥1 Anp et Σn≥1 anp, qui sont les quantités contrôlées par l'inégalité de Knopp ; il ne s'agit pas d'une moyenne géométrique.
En analyse fonctionnelle, cette estimation sert à contrôler une transformation qui remplace chaque terme par une moyenne des précédents. Elle est pertinente lorsque l'on cherche une borne globale dans un espace de suites ; une simple comparaison terme à terme est alors moins adaptée.
Pour une suite finie ou une troncature, le calcul direct comme celui de (1, 4, 9) permet de vérifier les données. Pour une série infinie, on préfère la forme théorique correspondant aux hypothèses de convergence plutôt qu'une extrapolation numérique de quelques termes.
À ne pas confondre
L'inégalité de Carleman est voisine par son usage des moyennes géométriques et des séries positives, mais elle ne désigne pas automatiquement la même formulation. Le critère qui tranche est la quantité placée sous la somme : Knopp met ici en jeu les moyennes arithmétiques partielles, tandis que Carleman compare les sommes Σn≥1(a1⋯an)1/n et eΣn≥1an. Il faut donc vérifier l'énoncé exact avant de remplacer un nom par l'autre.
L'inégalité arithmético-géométrique est également différente. Elle compare les moyennes arithmétique et géométrique d'un même nombre fini de valeurs ; Knopp organise une comparaison entre une suite et des moyennes partielles, dans un cadre de séries ou d'espaces de suites.
Limites et pièges
La transformation de Knopp s'applique ici à des termes aₙ ≥ 0, avec p > 1 et une somme Σn≥1 anp finie. Si une suite contient des termes négatifs, elle sort de cette forme retenue et il faut vérifier les hypothèses d'une autre version avant de conclure ; les moyennes géométriques relèvent d'une confusion distincte, traitée dans la section dédiée.
Une troncature finie ne prouve pas à elle seule une inégalité de séries infinies. Les valeurs (1, 4, 9) donnent seulement un contrôle sur trois termes ; le passage à l'infini exige les hypothèses de convergence et la constante de la version complète.
Enfin, une constante annoncée comme universelle est indépendante de la suite, mais pas nécessairement de l'exposant, des poids ou de la normalisation. Il faut donc conserver ces paramètres avant toute comparaison de deux énoncés.
Pour aller plus loin
Le prolongement naturel mène à l'inégalité de Carleman, qui, pour une suite an ≥ 0, compare explicitement les sommes Σn≥1(a1⋯an)1/n ≤ eΣn≥1an, lorsque la somme de droite est finie. Cet objet est différent de l'inégalité de Knopp retenue ici : Knopp compare Σ Anp à Σ anp pour p > 1, et non une somme de moyennes géométriques successives à une somme de moyennes géométriques des An.
La notion rejoint aussi l'étude des espaces de suites, où une transformation de moyennes est examinée comme une opération globale. Le point important est de préciser l'espace, la convergence et la normalisation avant d'interpréter la borne.
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