AnalyseFormule · Glossaire
Carleman (inégalité de)
L'inégalité de Carleman est une inégalité classique de l'analyse qui affirme que pour toute suite de réels positifs , la somme des moyennes géométriques est majorée par e fois la somme des an. Formellement :
La constante e est optimale. Cette inégalité peut être vue comme un cas limite de l'inégalité de Hardy et a des généralisations à des fonctions et des intégrales.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les moyennes géométriques successives auxquelles porte l’inégalité.
- Vérifier les hypothèses de positivité et de convergence utiles à une borne finie.
- Recalculer exactement l’exemple a_n = 2^−n.
- Interpréter correctement l’optimalité de la constante e.
En clair
Prenons une liste infinie de nombres positifs qui décroissent assez vite pour que leur somme soit finie. À chaque rang, on multiplie tous les nombres déjà rencontrés, puis on prend la racine adaptée : on obtient leur moyenne géométrique. Ces moyennes peuvent rester plus grandes que les derniers nombres de la liste.
L’inégalité de Carleman garantit pourtant que leur somme ne s’emballe pas : elle ne dépasse jamais e, environ 2,718, fois la somme de départ. Le facteur e est le meilleur facteur universel possible.
Définition
L’inégalité de Carleman compare une série de nombres positifs à la série formée par leurs moyennes géométriques successives. On note an le terme de rang n. Pour chaque entier positif n, la quantité Gn est la moyenne géométrique des n premiers termes : .
Si la suite ne contient que des réels positifs, alors la somme de toutes ces moyennes est bornée par e fois la somme des termes :
La comparaison est surtout informative lorsque la série des an converge, car son membre de droite est alors fini. La constante e est optimale : aucun nombre strictement inférieur ne peut la remplacer pour toutes les suites positives. Le résultat apparaît aussi comme un cas limite de l’inégalité de Hardy et possède des généralisations aux fonctions et aux intégrales.
Le principe
Soit une suite (an) de réels positifs. Pour chaque rang n, on forme la moyenne géométrique Gn des n premiers termes. Alors :
Ainsi, dès que la somme des an est finie, celle des Gn l’est aussi. Le multiplicateur e ne peut pas être diminué uniformément.
Quand l'utiliser
Le domaine est celui des suites infinies de réels positifs. Il faut connaître les termes dans leur ordre, car Gn utilise précisément les n premiers. Pour obtenir une borne finie et exploitable, la série formée par les an doit converger. On obtient alors à la fois la convergence de la série des moyennes géométriques et la borne donnée par e.
Si un terme est négatif, certaines racines des produits peuvent ne pas être réelles : cet énoncé ne s’applique donc pas. Il faut alors employer un résultat adapté aux valeurs signées. Si la somme des an diverge, le membre de droite est infini ; l’écriture reste sans information quantitative utile.
Un exemple, pas à pas
Considérons la suite positive dont le terme de rang n vaut an = 2−n. Ses premiers termes sont 1/2, 1/4, 1/8 et 1/16. Nous comparons exactement la somme de départ et celle des moyennes géométriques successives.
1. La série de départ est géométrique : . Le membre de droite de l’inégalité vaut donc e.
2. Le produit des n premiers termes vaut .
3. Sa racine n-ième donne . Les moyennes forment elles aussi une suite géométrique, de premier terme 1/2 et de raison 1/√2.
4. Leur somme est , soit environ 1,707.
Le contrôle final donne 1 + 1/√2 ≈ 1,707 < e ≈ 2,718. L’inégalité est vérifiée, avec une marge d’environ 1,011. Comparer les six premiers termes rend aussi visible le ralentissement de la décroissance provoqué par les moyennes géométriques.
En pratique
Pour majorer une somme de moyennes géométriques successives, on commence par reconnaître la structure cumulative : le terme de rang n doit combiner exactement les n premiers nombres. Si chaque moyenne ne porte que sur un groupe séparé, Carleman n’est pas le bon outil.
Lorsque la somme de la suite initiale est simple à calculer, l’inégalité fournit aussitôt la borne e fois cette somme, sans additionner séparément toutes les racines de produits. Pour une liste finie et courte, un calcul direct peut donner une borne plus précise.
Dans une démonstration où intervient déjà une inégalité de Hardy, la forme de Carleman peut signaler un passage limite. Le choix entre les deux dépend donc de l’objet à sommer : moyennes géométriques cumulées ici, moyennes arithmétiques successives dans la forme classique de Hardy.
À ne pas confondre
Avec l’inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique. Celle-ci compare deux moyennes d’une même liste finie. Carleman additionne au contraire les moyennes géométriques de tous les préfixes d’une suite infinie et compare cette série à la somme des termes.
Avec l’inégalité de Hardy. La forme classique de Hardy porte sur des moyennes arithmétiques successives et dépend d’un exposant. Carleman porte sur des moyennes géométriques ; le lien est celui d’un cas limite, pas d’une identité entre les deux énoncés.
Limites et pièges
Somme initiale divergente. Si la somme des an est infinie, la borne e fois cette somme est elle aussi infinie. Le symptôme est l’absence de majoration numérique ; il faut d’abord rechercher une autre estimation ou restreindre le problème.
Présence de signes. Un seul terme négatif peut rendre une racine n-ième non réelle selon le rang. Il ne faut pas appliquer mécaniquement l’énoncé positif ; une inégalité conçue pour des valeurs signées est nécessaire.
Optimalité de e. Le mot « optimale » signifie qu’aucune constante universelle strictement inférieure à e ne convient à toutes les suites positives. Il ne signifie pas que chaque suite atteint l’égalité : dans l’exemple an = 2−n, le rapport vaut seulement 1 + 1/√2 ≈ 1,707.
Pour aller plus loin
La fiche moyenne géométrique détaille l’opération placée au cœur de chaque terme Gn et permet de retrouver les calculs de l’exemple.
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