Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
inégalité de Tchebychev
L'inégalité de Tchebychev pour les suites monotones est due au mathématicien russe Pafnouti Tchebychev et intervient notamment dans la théorie des nombres premiers. Il ne faut pas la confondre avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, résultat probabiliste distinct qui majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance.
L'inégalité de Tchebychev pour les suites monotones affirme que, si deux suites réelles sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors leur moyenne des produits est supérieure ou égale au produit de leurs moyennes, et réciproquement si elles sont de monotonies contraires.
Pour chaque variable aléatoire Xₙ d'espérance E(Xₙ) et d'écart type σₙ fini et strictement positif, l'inégalité distincte de Bienaymé-Tchebychev donne :
P(|Xₙ − E(Xₙ)| ≥ kσₙ) ≤ 1/k²
pour tout réel k > 0. Cette borne ne suppose pas que la suite (Xₙ) soit monotone et n'exprime pas sa convergence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Comparer la moyenne des produits au produit des moyennes pour deux suites monotones.
- Choisir le signe de l’inégalité selon que les suites varient dans le même sens ou en sens opposés.
- Refaire le calcul complet avec les suites (1, 2, 3) et (2, 4, 5).
- Reconnaître les cas d’égalité et les situations où la monotonie manque.
- Distinguer l’inégalité sur les suites de la borne probabiliste de Bienaymé-Tchebychev.
En clair
Alignez trois valeurs 1, 2 et 3 avec trois autres valeurs 2, 4 et 5. Les petites vont avec les petites, les grandes avec les grandes. Les produits obtenus sont 2, 8 et 15 : leur moyenne vaut 25/3.
Le produit des deux moyennes ne vaut que 22/3. Cet avantage vient de l’ordre commun des deux suites. L’inégalité de Tchebychev affirme que ce phénomène se produit toujours lorsque les deux suites varient dans le même sens ; si leurs sens sont opposés, la comparaison s’inverse.
Définition
L’inégalité de Tchebychev pour les suites monotones compare deux façons de moyenner des nombres appariés. Considérons un entier positif n, puis deux suites réelles a1, …, an et b1, …, bn. Une suite est croissante au sens large lorsque chaque terme est supérieur ou égal au précédent ; elle est décroissante au sens large lorsque chaque terme est inférieur ou égal au précédent.
Si les deux suites sont monotones dans le même sens, la moyenne des produits terme à terme est au moins égale au produit de leurs moyennes : . Si l’une est croissante et l’autre décroissante, le signe devient inférieur ou égal.
Attribuée au mathématicien russe Pafnouti Tchebychev, cette inégalité intervient notamment en théorie des nombres premiers. La borne probabiliste portant le nom de Bienaymé-Tchebychev est un autre résultat.
Le principe
Soit n un entier positif. Si les suites réelles a1 ≤ … ≤ an et b1 ≤ … ≤ bn sont toutes deux croissantes, alors . La même conclusion vaut pour deux suites décroissantes. Si a1 ≤ … ≤ an et b1 ≥ … ≥ bn, le signe ≥ est remplacé par ≤. En divisant les deux membres par n2, on retrouve la comparaison entre moyenne des produits et produit des moyennes.
Quand l'utiliser
Le résultat s’applique à deux suites réelles finies de même longueur. Les termes comparés doivent partager le même indice, et chaque suite doit être monotone au sens large. Il faut donc vérifier séparément que la première ne change pas de sens et que la seconde ne change pas de sens. Le sens commun ou opposé détermine ensuite le signe de l’inégalité.
Avec la suite croissante (1, 2, 3) et la suite (3, 1, 2), qui n’est ni croissante ni décroissante, le théorème ne donne aucun verdict. La moyenne des produits vaut 11/3, tandis que le produit des moyennes vaut 4. Dans un tel cas, il faut calculer directement les deux quantités ou employer un résultat adapté aux données non monotones.
Un exemple, pas à pas
On compare deux suites croissantes appariées terme à terme.
Données :
• première suite : (1, 2, 3) ;
• seconde suite : (2, 4, 5) ;
• nombre de termes : 3.
Objectif : comparer la moyenne des produits au produit des moyennes.
Données :
• première suite : (1, 2, 3) ;
• seconde suite : (2, 4, 5) ;
• nombre de termes : 3.
Objectif : comparer la moyenne des produits au produit des moyennes.
1. Calculer les produits appariés : 1 × 2 = 2, 2 × 4 = 8 et 3 × 5 = 15.
2. Leur moyenne vaut .
3. Les moyennes des suites valent respectivement 2 et 11/3.
4. Leur produit vaut .
5. Comparer : 25/3 ≥ 22/3, avec un écart égal à 1.
2. Leur moyenne vaut .
3. Les moyennes des suites valent respectivement 2 et 11/3.
4. Leur produit vaut .
5. Comparer : 25/3 ≥ 22/3, avec un écart égal à 1.
Le résultat confirme l’inégalité pour deux suites de même sens. Pour contrôler l’inversion du signe, on retourne la seconde suite : (5, 4, 2). La moyenne des produits devient (5 + 8 + 6)/3 = 19/3, tandis que le produit des moyennes reste 22/3 ; on obtient bien 19/3 ≤ 22/3. La comparaison des deux appariements rend visible le rôle de l’ordre.
En pratique
Pour encadrer une moyenne de produits, on commence par vérifier le sens de variation des deux suites. Si elles évoluent ensemble, le produit des moyennes fournit une borne inférieure à la moyenne des produits ; si elles évoluent en sens opposés, il fournit une borne supérieure.
Pour comparer deux classements numériques, le signe obtenu traduit l’effet de l’appariement : associer les grandes valeurs entre elles augmente la moyenne des produits. Si les rangs ne sont pas monotones, un calcul direct est préférable, car l’inégalité ne décide plus.
Dans une démonstration de théorie des nombres, la règle peut transformer une information de monotonie en borne sur une somme. Il faut conserver les termes et leur ordre exacts ; trier une seule suite modifierait les produits étudiés.
À ne pas confondre
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Elle concerne une variable aléatoire X d’espérance μ et d’écart type σ fini et strictement positif. Pour tout réel k > 0, elle affirme . Cette forme normalisée suppose une variance finie et non nulle, non la monotonie de deux suites numériques. Dans le contexte de cette fiche, cette forme explicite permet donc d’identifier ce résultat probabiliste distinct.
Convergence monotone de variables aléatoires. Une suite de variables aléatoires peut varier avec son indice et converger vers une limite. Cela ne transforme pas la borne de Bienaymé-Tchebychev en formulation probabiliste de l’inégalité sur les moyennes de produits. Pour trancher, on regarde les objets comparés : deux listes ordonnées d’un côté, un écart probabiliste à une espérance de l’autre.
Limites et pièges
Une seule valeur. Lorsque n = 1, la moyenne du produit et le produit des moyennes sont identiques. L’inégalité est alors une égalité et n’apporte aucune séparation entre les deux quantités.
Une suite constante. Si tous les termes de l’une des suites sont égaux, les deux membres coïncident, quel que soit le sens de l’autre suite. À l’inverse, pour au moins deux termes, deux suites monotones non constantes de même sens donnent une inégalité stricte.
Un changement de sens. Dès qu’une suite monte puis descend, le signe n’est plus garanti. Le symptôme est l’impossibilité d’écrire tous les écarts successifs avec le même signe. Il faut alors comparer directement les moyennes ou découper le problème si des sous-suites monotones ont un sens mathématique.
Un tri qui change les paires. Trier séparément les deux suites peut faire apparaître la monotonie, mais modifie les produits terme à terme. Si l’appariement initial porte une information, il faut le conserver et renoncer à appliquer directement l’inégalité.
Pour aller plus loin
L’article Tchebychev et les suites monotones approfondit le rôle de l’ordre dans ce résultat et son contexte mathématique.
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