AnalyseNotion · Glossaire
suites adjacentes
Deux suites réelles (aₙ)ₙ∈ℕ et (bₙ)ₙ∈ℕ sont dites adjacentes lorsque l'une est croissante au sens large, l'autre est décroissante au sens large, et la suite de leurs différences (aₙ − bₙ) converge vers 0. Le théorème des suites adjacentes affirme que si (aₙ) est croissante et (bₙ) est décroissante, et si ces deux suites sont adjacentes, alors elles convergent toutes deux vers une même limite réelle l, et l'on a de plus aₙ ≤ l ≤ bₙ pour tout entier naturel n. Ce théorème est un outil fondamental dans les démonstrations par dichotomie, notamment pour encadrer une limite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois conditions qui rendent deux suites adjacentes.
- Déduire leur limite commune et l'encadrement valable à chaque rang.
- Suivre une dichotomie de √2 et contrôler l'erreur de l'approximation.
- Écarter les confusions avec une simple limite commune ou deux suites monotones.
En clair
Imaginez deux bornes qui se rapprochent d'un nombre encore inconnu. La borne basse ne peut que monter, tandis que la borne haute ne peut que descendre. Si l'écart entre elles finit par devenir aussi petit que l'on veut, elles se referment sur un seul nombre.
Les listes successives de bornes forment deux suites adjacentes. À chaque rang, le nombre recherché reste pris entre leurs deux termes : l'encadrement se resserre sans le perdre.
Définition
Deux suites de nombres réels sont adjacentes lorsque trois conditions sont réunies. La première suite, dont le terme de rang n est noté an, est croissante au sens large. La seconde, dont le terme de rang n est noté bn, est décroissante au sens large. Enfin, leur différence tend vers zéro : . « Au sens large » autorise deux termes consécutifs égaux.
Le théorème des suites adjacentes s'applique à ces suites réelles. Elles convergent vers une même limite réelle, notée ℓ, et chaque rang fournit l'encadrement suivant :
La croissance empêche la borne basse de s'éloigner vers le bas, la décroissance empêche la borne haute de s'éloigner vers le haut, et l'écart nul à la limite interdit deux limites distinctes. Cette propriété transforme une succession d'encadrements en preuve de convergence.
Un exemple, pas à pas
On cherche √2 par dichotomie. Les données initiales sont a0 = 1 et b0 = 2. Le carré de la borne basse vaut 1, celui de la borne haute vaut 4, et 1 < 2 < 4. À chaque étape, on teste le milieu de l'intervalle et on conserve les deux bornes positives dont les carrés encadrent 2.
1. Le milieu de [1 ; 2] vaut 1,5. Comme 1,52 = 2,25, la nouvelle borne haute est 1,5.
2. Le milieu de [1 ; 1,5] vaut 1,25. Comme 1,252 = 1,5625, la nouvelle borne basse est 1,25.
3. Le milieu de [1,25 ; 1,5] vaut 1,375. Son carré vaut 1,890625 : il devient la borne basse.
4. Le milieu suivant vaut 1,4375. Son carré vaut 2,06640625 : il devient la borne haute.
2. Le milieu de [1 ; 1,5] vaut 1,25. Comme 1,252 = 1,5625, la nouvelle borne basse est 1,25.
3. Le milieu de [1,25 ; 1,5] vaut 1,375. Son carré vaut 1,890625 : il devient la borne basse.
4. Le milieu suivant vaut 1,4375. Son carré vaut 2,06640625 : il devient la borne haute.
Les bornes basses ne font qu'augmenter, les bornes hautes ne font que diminuer, et la largeur est divisée par deux à chaque étape. Pour le rang entier n, elle vérifie : . Les deux suites sont donc adjacentes et leur limite commune est √2.
Après quatre étapes, 1,375 ≤ √2 ≤ 1,4375. Le milieu 1,40625 donne une approximation dont l'erreur est au plus 0,03125 ; ce contrôle se refait en prenant la moitié de la largeur 0,0625.
En pratique
Dans une preuve de convergence, on vérifie séparément la croissance de la borne basse, la décroissance de la borne haute et la disparition de leur écart. Si une formule explicite donne déjà la limite de chaque suite, le calcul direct est généralement plus court.
En dichotomie, chaque test choisit la moitié qui conserve la valeur cherchée. Cette méthode convient lorsqu'un encadrement robuste est disponible ; une résolution exacte est préférable dès qu'une manipulation algébrique isole directement la valeur.
Pour certifier une approximation, on conserve les deux bornes plutôt qu'un seul nombre décimal. Leur différence fournit immédiatement la largeur de l'encadrement, et sa moitié majore l'erreur commise en prenant le milieu.
À ne pas confondre
Deux suites ayant la même limite. Cette coïncidence ne suffit pas : l'une doit aussi être croissante et l'autre décroissante. La suite 1, −1/2, 1/3, −1/4… et la suite constamment nulle tendent toutes deux vers 0, mais la première n'est pas monotone.
Deux suites monotones et bornées. Chacune converge, mais leurs limites peuvent différer. Les suites constantes égales à 0 et à 1 sont monotones au sens large ; leur écart reste égal à 1, donc elles ne sont pas adjacentes.
Limites et pièges
Un écart qui diminue n'est pas forcément un écart qui tend vers 0. S'il se rapproche de 0,1, la condition d'adjacence échoue. Il faut établir la limite de la différence, pas seulement constater quelques diminutions.
Des égalités entre termes sont permises. La monotonie est prise au sens large. Une suite peut rester constante durant plusieurs rangs, mais deux suites entièrement constantes ne sont adjacentes que si leur valeur commune est la même.
Le signe de la différence ne change pas le test de rapprochement. La définition source suit an − bn, tandis qu'un calcul d'erreur emploie souvent bn − an, quantité positive. Dans les deux cas, la limite exigée est 0.
Un encadrement fini ne prouve pas l'adjacence. Les quatre étapes de l'exemple localisent √2, mais la preuve repose sur la règle valable à tout rang : les bornes restent monotones et la largeur vaut 2−n, donc elle tend vers 0.
Pour aller plus loin
Dichotomie — Pour voir comment des intervalles emboîtés construisent les deux suites de bornes.
convergence d'une suite numérique — Pour replacer la limite commune dans la définition générale de la convergence.
Croissante — Pour approfondir la monotonie exigée de la borne basse.
Décroissante — Pour examiner la condition symétrique imposée à la borne haute.
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