AnalyseNotion · Glossaire
Valeurs intermédaires
Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que toute fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). En particulier, si f(a) et f(b) sont de signes opposés, la fonction s'annule en au moins un point de l'intervalle. Ce théorème est l'un des résultats fondamentaux de l'analyse réelle et est à la base de nombreux résultats d'existence en mathématiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler les hypothèses et la conclusion exacte du théorème.
- Déduire l'existence d'un zéro à partir d'un changement de signe.
- Encadrer le zéro de x² − 2 par quatre étapes de dichotomie.
- Reconnaître les erreurs liées aux ruptures et à l'absence d'unicité.
En clair
Imaginez que l'on trace une courbe sans lever le crayon entre deux points. Si elle part sous une hauteur donnée et finit au-dessus, elle doit rencontrer cette hauteur en chemin. Une fonction continue se comporte ainsi : elle ne peut pas sauter une valeur intermédiaire.
Le théorème garantit une rencontre, mais ne dit pas nécessairement où elle a lieu ni combien de fois elle se produit.
Définition
Soit une fonction f continue sur l'intervalle fermé [a, b]. Les nombres f(a) et f(b) sont les valeurs de la fonction aux deux extrémités. Pour tout nombre y compris entre ces deux valeurs, il existe au moins un nombre c appartenant à [a, b] tel que . L'ordre de f(a) et f(b) n'importe pas : y peut être compris entre f(a) et f(b), ou entre f(b) et f(a).
Un cas particulier essentiel concerne la valeur y = 0. Si les valeurs aux extrémités sont de signes strictement opposés, autrement dit si , alors il existe au moins un point c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ où f(c) = 0. Si l'une des valeurs f(a) ou f(b) est déjà nulle, un zéro existe à une extrémité.
Le théorème affirme une existence, pas une unicité. Il ne fournit pas non plus automatiquement la valeur exacte de c. Sa forme plus générale reste valable pour une fonction continue sur n'importe quel intervalle : l'image d'un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle.
Un exemple, pas à pas
On cherche un zéro de la fonction f définie par sur [1, 2]. Les données sont l'intervalle [1, 2], la continuité de cette fonction polynomiale, f(1) = −1 et f(2) = 2. Les valeurs aux extrémités ont des signes opposés : le théorème assure donc l'existence d'au moins un zéro entre 1 et 2. Le graphe rend visibles le changement de signe et le point où la courbe traverse l'axe horizontal.
1. Au milieu, x = 1,5 et f(1,5) = 0,25 : le zéro est dans [1, 1,5].
2. Au milieu de ce nouvel intervalle, x = 1,25 et f(1,25) = −0,4375 : le zéro est dans [1,25, 1,5].
3. Pour x = 1,375, f(1,375) = −0,109375 : le zéro est dans [1,375, 1,5].
4. Pour x = 1,4375, f(1,4375) = 0,06640625 : le zéro est dans [1,375, 1,4375].
2. Au milieu de ce nouvel intervalle, x = 1,25 et f(1,25) = −0,4375 : le zéro est dans [1,25, 1,5].
3. Pour x = 1,375, f(1,375) = −0,109375 : le zéro est dans [1,375, 1,5].
4. Pour x = 1,4375, f(1,4375) = 0,06640625 : le zéro est dans [1,375, 1,4375].
Après quatre partages, l'encadrement obtenu a une largeur de 0,0625. Le zéro exact est √2, soit environ 1,4142, ce qui contrôle le calcul puisque 1,375 < √2 < 1,4375.
En pratique
Pour prouver qu'une équation f(x) = 0 possède une solution, on choisit un intervalle, on justifie la continuité de f et on cherche deux valeurs de signes opposés. Cette voie est utile quand résoudre exactement l'équation est difficile ou inutile.
Pour obtenir ensuite une valeur numérique, la dichotomie remplace successivement l'intervalle par la moitié où le changement de signe subsiste. On la préfère lorsqu'un encadrement fiable compte davantage qu'une convergence très rapide.
Pour montrer qu'une fonction atteint une valeur cible y, on étudie plutôt la fonction x ↦ f(x) − y. Trouver deux signes opposés pour cette nouvelle fonction ramène le problème à la recherche d'un zéro.
À ne pas confondre
Théorème des valeurs intermédiaires et théorème des accroissements finis. Le premier porte sur les valeurs prises par une fonction continue. Le second porte sur un taux de variation et exige notamment une dérivabilité à l'intérieur de l'intervalle. Une fonction continue avec un angle peut relever du premier sans satisfaire les hypothèses du second au point anguleux.
Valeurs intermédiaires et extrema. Le théorème des valeurs intermédiaires remplit les valeurs entre deux images déjà connues. Le théorème des bornes atteintes garantit, pour une fonction continue sur un segment, l'existence d'un minimum et d'un maximum. Savoir que f(1) = −1 et f(2) = 2 ne prouve pas que −1 et 2 sont les extrema de f sur [1, 2].
Limites et pièges
Une rupture invalide l'argument. Sur [−1, 1], la fonction qui vaut −1 pour x < 0 et 1 pour x ≥ 0 change de signe entre les extrémités, mais ne vaut jamais 0. Le saut en 0 signale l'absence de continuité ; il faut donc vérifier cette hypothèse avant de conclure.
Existence ne signifie pas unicité. Un changement de signe garantit au moins un zéro, mais une courbe peut traverser plusieurs fois l'axe. Pour conclure à un seul zéro, il faut une information supplémentaire, par exemple une stricte monotonie sur l'intervalle.
Le signe strict détermine la position du zéro. Si f(a)f(b) < 0, un zéro se trouve strictement entre a et b. Si le produit vaut 0, le zéro connu peut être seulement a ou b ; l'existence d'un zéro intérieur ne suit pas.
Le segment n'est pas la forme la plus générale. La version usuelle s'énonce sur [a, b], mais la propriété des valeurs intermédiaires vaut sur tout intervalle. Il ne faut pas attribuer à la fermeture de [a, b] ce qui vient ici de la continuité et du caractère sans coupure de l'intervalle.
Pour aller plus loin
La notion de fonction continue précise l'hypothèse qui interdit les sauts et rend possible le passage par toutes les valeurs intermédiaires.
La dichotomie transforme la garantie d'existence d'un zéro en une suite d'encadrements dont la largeur est divisée par deux à chaque étape.
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