AnalyseNotion · Glossaire
Regula falsi
La méthode de la regula falsi, ou méthode des fausses positions, est un algorithme numérique pour trouver les zéros d'une fonction continue. Elle est similaire à la dichotomie mais utilise l'interpolation linéaire : étant donné un intervalle [a, b] où la fonction change de signe, elle calcule l'intersection de la droite reliant (a, f(a)) et (b, f(b)) avec l'axe des abscisses comme nouveau point d'évaluation. La convergence est garantie mais peut être lente si l'un des bords de l'intervalle est presque stationnaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le changement de signe à l'existence d'au moins un zéro pour une fonction continue.
- Calculer la fausse position par l'intersection d'une sécante avec l'axe horizontal.
- Refaire quatre itérations exactes pour f(x) = x² − 2 sur [1, 2].
- Distinguer la regula falsi de la dichotomie, de la sécante libre et de la méthode de Newton.
- Repérer une borne immobile, une discontinuité et une stagnation due aux arrondis.
En clair
Sur le graphe de f(x) = x2 − 2, le point d'abscisse 1 est sous l'axe horizontal et celui d'abscisse 2 est au-dessus. Un zéro se trouve donc entre les deux.
La regula falsi relie ces deux points par une droite et regarde où cette droite coupe l'axe. Cette première fausse position vaut 4/3. Elle remplace ensuite la borne qui porte le même signe, puis le geste recommence. Le zéro reste encadré tandis que les estimations se rapprochent de √2.
Définition
La regula falsi est une méthode d'encadrement destinée à chercher un zéro réel d'une fonction. Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b]. Les nombres a et b désignent les bornes, et leurs images doivent être de signes strictement opposés : f(a)f(b) < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires assure alors la présence d'au moins un zéro entre elles.
La droite passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)) coupe l'axe horizontal en une abscisse c donnée par : . Le dénominateur n'est pas nul puisque les deux images ont des signes opposés. Si f(c) = 0, le calcul s'arrête. Sinon, on remplace par c la borne dont l'image a le même signe que f(c), ce qui conserve un changement de signe.
Ce choix distingue la méthode de la sécante libre : chaque nouvelle estimation reste dans l'intervalle qui encadre un zéro. Sous ces hypothèses et en arithmétique exacte, l'itération converge vers un zéro, sans garantir qu'il soit unique si la fonction en possède plusieurs. Une borne peut toutefois rester inchangée pendant de nombreuses étapes, ce qui rend la convergence très lente.
Un exemple, pas à pas
Cherchons le zéro positif de f(x) = x2 − 2. Les données sont a = 1, b = 2, f(1) = −1 et f(2) = 2. Les images ont des signes opposés, donc l'intervalle [1, 2] encadre un zéro.
1. La première intersection vaut . Comme f(4/3) = −2/9, la borne gauche devient 4/3 et la borne droite reste 2.
2. La nouvelle sécante donne c2 = 7/5 = 1,4, avec f(7/5) = −1/25. La figure représente la courbe et ces deux sécantes calculées, dont les intersections successives avec l'axe sont 4/3 et 7/5.
3. Les deux itérations suivantes donnent c3 = 24/17 ≈ 1,4118, puis c4 = 41/29 ≈ 1,4138. Leurs images, −2/289 puis −1/841, restent négatives : la borne droite 2 ne bouge toujours pas.
4. Le résultat après quatre étapes est donc l'encadrement 41/29 < √2 < 2. Pour le contrôler, on élève la borne calculée au carré : (41/29)2 = 1681/841 = 2 − 1/841 < 2. La valeur 1,4138 est cohérente avec √2 ≈ 1,4142.
En pratique
Pour résoudre une équation f(x) = 0 quand une formule exacte manque, choisissez deux valeurs où f change de signe. La regula falsi est utile si le calcul des images est possible et si l'encadrement du zéro doit être conservé.
Si seule la continuité et le changement de signe sont fiables, la dichotomie offre une réduction prévisible de la largeur de l'intervalle. Préférez-la lorsque les fausses positions s'accumulent près d'une même borne et que l'autre ne bouge presque plus.
Si une dérivée est disponible et qu'un bon point de départ est connu, la méthode de Newton peut avancer beaucoup plus vite. La regula falsi reste préférable quand sortir de l'intervalle serait risqué. Dans un programme, arrêtez l'itération selon une tolérance sur |f(c)|, complétée par une limite du nombre d'étapes.
À ne pas confondre
Regula falsi et méthode de la sécante. Les deux méthodes utilisent l'intersection d'une sécante avec l'axe. La regula falsi conserve deux bornes de signes opposés ; la sécante remplace au contraire les deux anciens points par les deux estimations les plus récentes. Ainsi, sur f(x) = x2 − 2, la borne 2 reste fixée dans les premières étapes de la regula falsi.
Regula falsi et dichotomie. La dichotomie teste toujours le milieu (a + b)/2, tandis que la regula falsi pondère les bornes par les valeurs de f. Sur [1, 2], la première méthode teste 3/2 et la seconde 4/3. Toutes deux préservent le changement de signe.
Regula falsi et méthode de Newton. Newton utilise la tangente en un seul point et demande la dérivée de f. La regula falsi utilise une sécante entre deux points et ne demande que des valeurs de f. Pour f(x) = x2 − 2, partir de 2 avec Newton donne 3/2, sans fournir à lui seul un encadrement.
Limites et pièges
Borne presque immobile. Une courbure marquée peut faire remplacer toujours la même extrémité. Dans l'exemple, les quatre estimations ont une image négative et la borne 2 reste fixée. Le symptôme est une largeur d'intervalle qui diminue peu ; passez à la dichotomie ou à une variante corrigée de la fausse position.
Absence de changement de signe. Si f(a)f(b) > 0, l'argument de continuité ne garantit aucun zéro entre a et b, même si un zéro de multiplicité paire peut s'y trouver. Il faut chercher un autre intervalle ou employer une méthode adaptée à l'information disponible.
Discontinuité. Des valeurs de signes opposés ne suffisent pas sans continuité. La fonction f(x) = 1/x sur [−1, 1] change de signe mais ne possède aucun zéro ; la formule de la sécante pointe vers x = 0, où f n'est pas définie. Vérifiez donc le domaine avant d'itérer.
Arrêt numérique trompeur. En virgule flottante, le point c peut finir par être arrondi à une borne sans que f(c) soit nul. Si deux itérations rendent exactement le même nombre machine, l'algorithme stagne ; arrêtez avec un diagnostic plutôt que d'annoncer un zéro exact.
Pour aller plus loin
Dichotomie — Comparer une borne médiane systématique à l'intersection pondérée employée par la regula falsi.
méthode de Newton — Étudier une recherche de zéro fondée sur la tangente, sa dérivée et le choix du point initial.
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