méthode de Newton-Raphson

dans la représentation d'une courbe, une racine est un endroit où la courbe rencontre l'axe horizontal : elle peut le traverser ou seulement le toucher. On part d'une valeur supposée proche, puis on remplace localement la courbe par sa tangente, plus simple à suivre. Le point où cette droite coupe l'axe donne une nouvelle estimation.

En répétant ce geste, les estimations peuvent se rapprocher très vite de la racine. La méthode de Newton-Raphson transforme ainsi un problème d'équation en une suite de corrections successives.

La méthode de Newton-Raphson cherche une valeur approchée d'une racine d'une équation f(x) = 0. La fonction est notée f et l'approximation au rang n est notée x_n. À chaque rang, la courbe est remplacée près de x_n par sa tangente ; l'abscisse où cette tangente rencontre l'axe horizontal devient l'approximation suivante.

Lorsque la dérivée de f en x_n existe et n'est pas nulle, la correction s'écrit $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(x_n)}x\_\{n+1\}=x\_n-\backslash frac\{f(x\_n)\}\{f\text{'}(x\_n)\}$. Cette formule ne garantit pas à elle seule la convergence : le choix de la valeur initiale et le comportement de la fonction comptent aussi.

L'histoire de cette écriture est progressive. Dans De analysi, rédigé en 1669, Newton traite des polynômes par corrections successives, sans écrire la récurrence moderne ni faire apparaître explicitement la dérivée. En 1690, Raphson en donne une présentation itérative plus systématique pour les équations polynomiales. La forme moderne résulte d'évolutions ultérieures, notamment des travaux de Simpson en 1740, qui appliquent les outils du calcul différentiel à des équations plus générales.

On dispose d'une fonction f, d'une approximation initiale x₀ et d'une dérivée non nulle aux points calculés. Pour chaque entier n, on évalue f(x_n) et f′(x_n), puis on applique :

On s'arrête lorsque la correction |x_n+1 − x_n| ou le résidu |f(x_n+1)| passe sous une tolérance fixée. Il faut ensuite contrôler que la valeur obtenue satisfait bien l'équation à la précision annoncée.

La méthode s'applique à une équation f(x) = 0 lorsque la fonction peut être dérivée autour de la racine recherchée. Il faut pouvoir calculer f et sa dérivée, et la dérivée ne doit pas s'annuler au point où une correction est effectuée. Une estimation initiale située dans une zone où la tangente conduit vers la racine favorise la convergence.

Ces conditions se surveillent pendant le calcul : chaque valeur doit rester dans le domaine de f et le dénominateur f′(x_n) doit rester non nul. La diminution du résidu est un indicateur pratique, mais elle n'est pas nécessaire à chaque étape : une convergence peut être non monotone. Si la dérivée est nulle, si les itérations oscillent ou si elles s'éloignent, la correction est bloquée ou mal orientée. Une méthode par encadrement, comme la dichotomie, est alors préférable lorsqu'un intervalle où f est continue et change de signe est connu.

Résolvons l'équation x³ − 2x − 5 = 0 utilisée par Newton. Les données sont la fonction f définie par f(x) = x³ − 2x − 5, sa dérivée f′ définie par f′(x) = 3x² − 2 et la valeur initiale x₀ = 2.

1. À x₀ = 2, on obtient f(2) = −1 et f′(2) = 10. La première correction donne x₁ = 2 − (−1)/10 = 2,1.

2. À x₁ = 2,1, le résidu vaut f(2,1) = 0,061 et la dérivée vaut f′(2,1) = 11,23. On obtient x₂ = 2,1 − 0,061/11,23 ≈ 2,094568121104. La figure représente la courbe et ces deux tangentes calculées.

3. À l'étape suivante, f(x₂) ≈ 0,000185723 et f′(x₂) ≈ 11,161646842. Le calcul donne x₃ ≈ 2,094551481698.

4. Une dernière correction fournit x₄ ≈ 2,094551481542. La différence |x₄ − x₃| vaut environ 1,56 × 10⁻¹⁰.

Le contrôle par substitution de la valeur affichée donne x₄³ − 2x₄ − 5 ≈ −3,65 × 10⁻¹². La racine est donc 2,0945515 à 10⁻⁷ près, précision évoquée dans l'exemple historique.

Pour approcher numériquement une solution, on choisit une valeur initiale, on calcule successivement la fonction et sa dérivée, puis on surveille à la fois la taille de la correction et celle du résidu. Conserver ces deux contrôles évite de prendre une stagnation pour une solution.

Sur un graphique, la méthode se lit comme une suite de tangentes. Si une tangente devient presque horizontale, sa rencontre avec l'axe peut partir très loin : il faut changer de point initial ou employer une méthode plus robuste.

Quand un intervalle avec changement de signe est disponible et que la fiabilité prime sur la vitesse, la dichotomie offre un encadrement sûr. Newton-Raphson est souvent choisie lorsque la dérivée est accessible et qu'une bonne estimation initiale est connue.

La méthode de Newton-Raphson ne se confond pas avec la dichotomie. La première suit des tangentes et demande une dérivée ; la seconde coupe en deux un intervalle sur lequel f est continue et conserve un changement de signe. Pour f(x) = x³ − 2x − 5, Newton-Raphson part ici du seul nombre 2, tandis que la dichotomie demanderait un intervalle encadrant une racine.

Elle diffère aussi de la méthode de la sécante. Newton-Raphson utilise la dérivée en une approximation ; la sécante estime la pente à partir de deux approximations. Si f′ n'est pas disponible mais que deux valeurs de départ le sont, le second critère désigne la méthode de la sécante.

Enfin, la linéarisation n'est pas la solution exacte de l'équation initiale. Elle remplace localement la courbe par une droite afin de produire l'itération suivante. Le résultat n'est validé qu'après contrôle du résidu dans l'équation de départ.

Si f′(x_n) = 0, la formule divise par zéro et l'itération n'est pas définie. Si la dérivée est seulement très petite, la correction peut devenir énorme. Il faut alors choisir un autre point initial ou une méthode sans cette division.

Une valeur initiale mal placée peut conduire à une autre racine, à une oscillation ou à une fuite des valeurs. Par exemple, pour f(x) = x³ − 2x + 2, les départs 0 et 1 forment le cycle 0 → 1 → 0. Détecter la répétition impose d'interrompre le calcul et de changer de stratégie.

Près d'une racine multiple, la convergence habituelle peut ralentir fortement. Un résidu petit ne suffit pas toujours si la courbe est très plate : il faut aussi suivre la correction, borner le nombre d'itérations et annoncer la précision réellement contrôlée.

La fiche Raphson Joseph replace la publication de 1690 dans la trajectoire documentée du mathématicien auquel la méthode doit une partie de son nom.

La fiche Newton Isaac prolonge le versant historique en présentant le savant qui a élaboré la première démarche de linéarisation décrite ici.