méthode de fausse position

On essaie un nombre, même s'il est faux, puis on observe de combien le résultat manque sa cible. Si le problème est proportionnel, un simple rapport corrige cet essai. Avec deux essais, on peut combiner les deux écarts : la correction est exacte si ces écarts varient de façon affine avec l'essai, et donne sinon une estimation.

Pour chercher le zéro d'une fonction, les deux essais deviennent deux points situés de part et d'autre de la racine. La droite qui les relie coupe l'axe en une nouvelle estimation.

La méthode de fausse position est une procédure de résolution fondée sur des valeurs d'essai volontairement provisoires. Son nom latin, « regula falsi », est couramment employé pour désigner cette méthode, notamment dans sa version analytique par sécante. Elle recouvre trois procédés. Dans un problème proportionnel, la fausse position simple corrige un essai par le rapport entre la valeur visée et la valeur obtenue. La double fausse position combine les résultats de deux essais : elle donne une solution exacte lorsque la relation entre les essais et leurs écarts à la cible est affine, et sinon une approximation. Ces deux formes arithmétiques ont été employées par les Babyloniens, les Égyptiens, les mathématiciens arabes et ceux du Moyen Âge.

En analyse, on cherche une racine, c'est-à-dire un nombre où une fonction s'annule. On choisit deux nombres a et b placés de part et d'autre de la racine, puis on remplace localement la courbe par la sécante joignant les points de coordonnées (a, f(a)) et (b, f(b)). L'abscisse de l'intersection entre cette sécante et l'axe fournit une nouvelle estimation. Le procédé est une interpolation linéaire : il n'affirme pas que la fonction elle-même est affine.

Soit une fonction continue entre deux essais a et b, avec des valeurs f(a) et f(b) différentes et de signes opposés. La sécante donne l'estimation c suivante : $c=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}c=\backslash frac\{a\; f(b)-b\; f(a)\}\{f(b)-f(a)\}$. On évalue ensuite f(c). Si cette valeur est nulle, le calcul s'arrête ; sinon, c remplace l'extrémité ayant le même signe afin de conserver deux valeurs de signes opposés.

La fausse position simple demande une relation de proportionnalité : multiplier l'essai doit multiplier le résultat dans le même rapport. La double fausse position demande deux essais et leurs deux écarts à la valeur cherchée. Elle détermine exactement la solution si l'écart varie de façon affine avec l'essai ; sinon, l'interpolation affine ne donne qu'une approximation. Dans la version analytique, la fonction doit être continue entre a et b ; il faut pouvoir calculer f(a) et f(b), obtenir des signes opposés et former une sécante non horizontale.

Si f(a) et f(b) ont le même signe, le couple ne place pas la racine cherchée entre deux valeurs de signes opposés : il faut choisir d'autres extrémités ou employer une autre méthode. Si la fonction n'est pas continue, des signes opposés peuvent venir d'une rupture plutôt que d'un zéro. Si les deux valeurs sont égales, le dénominateur de la formule est nul et l'étape est impossible.

On cherche la racine positive de la fonction définie par f(x) = x² − 2. Les données sont a = 1, f(1) = −1, b = 2 et f(2) = 2. Les valeurs de la fonction ont des signes opposés.

1. La sécante entre les deux points coupe l'axe en $c_1=\frac{1\times 2-2\times (-1)}{2-(-1)}=\frac{4}{3}c\_1=\backslash frac\{1\backslash times2-2\backslash times(-1)\}\{2-(-1)\}=\backslash frac\{4\}\{3\}$.
2. On calcule f(4/3) = −2/9. Cette valeur est négative, donc 4/3 remplace l'extrémité 1.
3. Avec 4/3 et 2, la nouvelle sécante donne $c_2=\frac{(4\mathrm{/}3)\times 2-2\times (-2\mathrm{/}9)}{2-(-2\mathrm{/}9)}=\frac{7}{5}c\_2=\backslash frac\{(4/3)\backslash times2-2\backslash times(-2/9)\}\{2-(-2/9)\}=\backslash frac\{7\}\{5\}$.

Après deux étapes, l'estimation vaut donc 7/5 = 1,4. Le contrôle donne f(7/5) = −1/25 : la valeur reste négative, mais son écart à zéro est passé de 1 à 1/25.

Dans un problème proportionnel, on peut commencer par une quantité commode, calculer le résultat correspondant, puis appliquer le rapport correctif. Si la proportionnalité n'est pas vérifiée, cette correction unique n'est pas justifiée.

Pour une équation, on choisit deux valeurs dont les images ont des signes opposés. Chaque nouvelle sécante fournit un essai, puis le signe du résultat indique quelle extrémité remplacer.

Le bon réflexe consiste à conserver les valeurs exactes pendant les calculs et à n'arrondir qu'à la fin. Dans l'exemple, 4/3 puis 7/5 permettent de contrôler les signes sans erreur d'arrondi.

La fausse position analytique ne se confond pas avec une interpolation linéaire utilisée seulement pour estimer une valeur entre deux données. Le critère qui tranche est l'objectif : ici, la sécante sert à estimer l'endroit où f(x) vaut zéro.

La fausse position simple ne se confond pas avec la double fausse position. Un seul essai corrigé par un rapport suffit dans le cas proportionnel ; la double fausse position combine deux essais et donne une solution exacte lorsque la relation entre les essais et leurs écarts est affine. Hors de ce cas, cette combinaison ne fournit qu'une approximation.

Une correction par simple rapport devient trompeuse dès que le résultat n'est pas proportionnel à l'essai. Le symptôme est qu'un doublement de l'essai ne produit pas un doublement du résultat ; il faut alors passer à deux positions ou reformuler le problème.

Dans la version analytique, f(a) = f(b) rend la sécante horizontale et annule le dénominateur. Aucun nouvel essai n'est défini par la formule : il faut changer au moins une extrémité.

Des valeurs de même signe ne prouvent pas qu'aucune racine n'existe ; elles montrent seulement que l'encadrement par changement de signe n'est pas obtenu. Des signes opposés ne garantissent une racine intermédiaire que si la fonction est continue entre les essais. Il faut donc contrôler la continuité ou choisir un autre intervalle. Enfin, l'intersection de la sécante est une estimation tant que f(c) n'est pas nulle.

La fiche interpolation linéaire approfondit la construction affine utilisée par la sécante et aide à replacer la fausse position parmi les procédés d'estimation entre deux points.