théorème des valeurs intermédiaires

Imaginez une courbe tracée sans lever le crayon. Si elle est sous l'axe horizontal à un endroit et au-dessus plus loin, elle doit traverser l'axe entre les deux.

Le théorème des valeurs intermédiaires transforme cette intuition en certitude pour une fonction continue. Il garantit qu'une valeur intermédiaire est atteinte, mais ne dit ni où exactement ni combien de fois.

Le théorème des valeurs intermédiaires concerne une fonction continue sur un intervalle fermé. On note cette fonction f, les extrémités de l'intervalle a et b, avec a < b, et une valeur y située entre f(a) et f(b). Le théorème affirme qu'il existe au moins un nombre c dans [a, b] tel que f(c) = y.

Sa forme générale s'écrit : $y\in [\min (f(a),f(b)),\max (f(a),f(b))]⟹\mathrm{\exists }c\in [a,b],f(c)=yy\backslash in[\backslash min(f(a),f(b)),\backslash max(f(a),f(b))]\backslash Longrightarrow\backslash exists\; c\backslash in[a,b],\backslash \; f(c)=y$. Si y est strictement compris entre f(a) et f(b), le nombre c appartient à l'intervalle ouvert ]a, b[.

Le cas y = 0 est le théorème des zéros souvent associé à Bolzano. Lorsque f(a) et f(b) sont de signes strictement contraires, leur produit est négatif et au moins un zéro existe entre a et b. La continuité assure l'existence, jamais l'unicité.

Si une fonction f est continue sur [a, b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). Autrement dit, pour toute valeur y comprise entre ces deux images, il existe au moins un nombre c dans [a, b] tel que f(c) = y.

En particulier : . Cette conclusion affirme une existence, sans fournir la valeur de c ni prouver qu'elle est unique.

La fonction doit être définie sur [a, b] et continue sur tout cet intervalle ; son domaine global peut être plus large et n'a pas besoin d'être lui-même un intervalle. Pour garantir un zéro intérieur par le critère de signe, il faut vérifier que f(a) et f(b) sont strictement de signes contraires. Pour une autre valeur y, il suffit que y soit comprise entre f(a) et f(b).

Sans continuité, le changement de signe ne suffit pas. Par exemple, une fonction valant −1 pour x < 0 et 1 pour x ≥ 0 change de signe sur [−1, 1] sans jamais valoir 0. Il faut alors rétablir une preuve de continuité ou employer un autre argument d'existence.

Cherchons un zéro de la fonction f définie par f(x) = x³ − x − 1 sur [1, 2]. Les données sont l'intervalle [1, 2], la continuité de toute fonction polynomiale, f(1) = −1 et f(2) = 5.

1. Comme −1 et 5 sont de signes contraires, le théorème garantit au moins un nombre c dans ]1, 2[ tel que f(c) = 0. La courbe rend visible cette traversée imposée.

2. Testons le milieu 1,5 : f(1,5) = 0,875. Le changement de signe subsiste donc sur [1, 1,5].

3. Le milieu suivant vaut 1,25 et f(1,25) = −0,296875. Le zéro appartient donc à [1,25, 1,5].

4. À 1,375, la valeur est f(1,375) = 0,224609375. On obtient l'encadrement [1,25, 1,375]. En poursuivant la dichotomie, on trouve c ≈ 1,3247. Le contrôle refaisable consiste à vérifier que chaque nouvel intervalle conserve deux images de signes contraires.

Pour prouver qu'une équation f(x) = 0 possède une solution, on choisit deux bornes, on justifie la continuité entre elles, puis on calcule les signes aux extrémités. Des signes contraires donnent immédiatement l'existence d'au moins une racine.

Pour localiser cette racine numériquement, la dichotomie coupe l'intervalle en deux et conserve la moitié où le changement de signe persiste. On répète jusqu'à obtenir la précision voulue.

Si les valeurs aux deux bornes ont le même signe, le test est muet : on cherche d'autres bornes ou une autre preuve. Il ne faut pas conclure qu'aucune racine n'existe.

Le théorème des valeurs intermédiaires ne se confond pas avec le théorème de Bolzano-Weierstrass. Le premier porte sur les valeurs prises par une fonction continue sur un intervalle ; le second, dans son intitulé usuel, porte sur l'extraction d'une sous-suite convergente d'une suite bornée.

Il ne se confond pas non plus avec la dichotomie. Le théorème certifie l'existence d'un zéro sous certaines hypothèses ; la dichotomie est une procédure qui resserre un intervalle pour le localiser.

Un changement de signe sans continuité peut provenir d'un saut : aucun passage par zéro n'est alors garanti. Le symptôme est une discontinuité dans [a, b] ; il faut vérifier la continuité avant d'invoquer le théorème.

Des signes identiques aux extrémités ne prouvent pas l'absence de zéro. Pour f(x) = x² − 1 sur [−2, 2], les deux images valent 3, alors que −1 et 1 sont des zéros. Il faut changer d'intervalle ou utiliser une autre analyse.

Le théorème n'assure pas que le zéro est isolé ou unique. Une fonction peut s'annuler sur tout un sous-intervalle. L'isolement est utile pour localiser une racine déterminée, mais n'est pas nécessaire à l'existence garantie par le théorème.

Si f(a) = 0 ou f(b) = 0, un zéro est déjà connu à une extrémité. Le produit vaut alors 0, et non un nombre négatif ; la version stricte qui place c dans ]a, b[ ne s'applique pas telle quelle.

La fonction continue précise l'hypothèse centrale du théorème et les façons de la vérifier.

Le zéro d'une fonction donne le vocabulaire exact de la solution recherchée dans le cas y = 0.

La Dichotomie prolonge la preuve d'existence en une méthode d'encadrement numérique de la racine.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass permet de distinguer le résultat sur les suites bornées de l'histoire des travaux sur la continuité.