AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Bolzano-Weierstrass
Le théorème de Bolzano-Weierstrass est un résultat fondamental de l’analyse réelle portant sur les suites de nombres réels. Il énonce que toute suite bornée de nombres réels admet au moins une sous-suite convergente. Une conséquence en termes d’ensembles est la suivante : tout ensemble borné et infini de nombres réels admet au moins un point d’accumulation. Plus généralement, le résultat se transpose à R^n : toute suite bornée dans un espace euclidien de dimension finie possède une sous-suite convergente. Ce théorème, dû à Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, est étroitement lié à la completude et à la propriété de compacité des fermés bornés de R^n.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler les hypothèses et la conclusion du théorème dans R et dans un espace euclidien de dimension finie.
- Vérifier sur une suite oscillante bornée deux extractions convergeant respectivement vers 1 et −1.
- Distinguer convergence d’une sous-suite et convergence de la suite entière.
- Relier la formulation séquentielle aux points d’accumulation et à la compacité.
- Repérer les limites liées à la bornitude, à la finitude de l’ensemble et à la dimension de l’espace.
En clair
Imaginez une liste infinie qui passe sans cesse d’un côté à l’autre : 0, 3/2, −2/3, 5/4, −4/5… Ses valeurs restent enfermées entre −1 et 3/2, mais la liste entière ne se stabilise pas.
En ne gardant que les rangs pairs, on voit pourtant les nombres se rapprocher de 1. Les rangs impairs se rapprochent, eux, de −1. Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que cette possibilité de choisir une trajectoire convergente existe dans toute suite réelle bornée, même lorsque son comportement global paraît irrégulier.
Définition
Une suite réelle, dont le terme de rang n est noté un, est bornée lorsqu’il existe un réel positif M qui majore la valeur absolue de chaque terme : . Une sous-suite est obtenue en conservant des termes d’indices strictement croissants n1 < n2 < … Elle converge vers un réel L lorsque .
Le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit l’existence d’au moins une telle sous-suite pour toute suite bornée de réels. Il ne prétend ni que la suite entière converge, ni que la limite extraite est unique. Dans un espace euclidien Rd de dimension finie d, la même conclusion vaut en remplaçant la valeur absolue par la distance euclidienne.
La formulation ensembliste dit que tout ensemble infini et borné de réels possède un point d’accumulation, c’est-à-dire un point au voisinage duquel se trouvent toujours d’autres éléments de l’ensemble. Le résultat, attribué à Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, exprime une propriété de compacité des fermés bornés de dimension finie et s’appuie sur la complétude des nombres réels.
Le principe
Soit une suite de points xn dans l’espace euclidien Rd, où d est un entier fini. S’il existe un réel M tel que la distance de chaque xn à l’origine soit au plus M, alors il existe des indices strictement croissants n1, n2, … et un point L de Rd tels que . Autrement dit, toute suite bornée de dimension finie contient une sous-suite convergente.
Quand l'utiliser
Le théorème s’applique à une suite infinie de nombres réels, ou de points d’un espace euclidien de dimension finie. Il faut pouvoir exhiber une borne commune : tous les termes doivent rester dans un même intervalle borné, ou dans une même boule de rayon fini. L’ordre des termes peut être irrégulier ; aucune monotonie n’est requise. La conclusion obtenue est seulement l’existence d’une extraction convergente.
La suite définie par un = n fournit un contre-cas immédiat : elle n’est pas bornée et toutes ses sous-suites tendent vers +∞. Bolzano-Weierstrass ne peut donc rien garantir. Si l’on peut montrer que la suite entière est croissante et majorée, le théorème de convergence monotone donne une conclusion plus forte : la suite elle-même converge.
Un exemple, pas à pas
Données. Pour chaque entier n ≥ 1, on considère le nombre sans unité un = (−1)n + 1/n. On va extraire les termes de rang pair, puis contrôler leur rapprochement de 1.
1. Les quatre premiers termes valent u1 = 0, u2 = 3/2, u3 = −2/3 et u4 = 5/4. L’alternance empêche la suite entière de converger.
2. Pour tout rang n, on a −1 < un ≤ 3/2, donc . La condition de bornitude est vérifiée.
3. Au rang pair 2k, le signe vaut 1. La sous-suite extraite vérifie , donc ses termes convergent vers 1 lorsque l’entier k grandit.
4. Au rang impair 2k − 1, on obtient . Cette seconde extraction converge vers −1 : l’existence garantie par le théorème n’implique pas l’unicité.
Contrôle. Dès que k ≥ 5, l’écart entre u2k et 1 vaut 1/(2k), donc au plus 1/10. Un graphique des dix premiers termes rend visibles l’oscillation globale et les deux extractions qui se resserrent vers 1 et −1.
En pratique
Face à une suite bornée dont les termes oscillent, on utilise Bolzano-Weierstrass pour isoler une sous-suite convergente et obtenir une limite candidate. Si la suite entière est déjà convergente, calculer directement sa limite apporte davantage d’information.
Dans un problème d’existence en dimension finie, on construit souvent une suite de points qui approche une valeur recherchée, puis on prouve qu’elle reste bornée. L’extraction fournit un point limite ; il faut ensuite vérifier séparément que les contraintes sont fermées et que la quantité étudiée passe à la limite.
Pour un ensemble infini de points confinés dans une zone bornée, la version ensembliste signale l’existence d’un point d’accumulation. Si l’ensemble est fini, mieux vaut examiner directement ses points : aucune accumulation n’est imposée.
À ne pas confondre
Avec le théorème des valeurs intermédiaires. Celui-ci part d’une fonction continue sur un intervalle et garantit qu’elle prend les valeurs situées entre deux images. Bolzano-Weierstrass part d’une suite bornée et garantit une extraction convergente. Une fonction avec changement de signe appelle le premier ; une suite oscillante bornée appelle le second.
Avec la convergence de la suite entière. Une sous-suite convergente ne contrôle que certains rangs. Pour un = (−1)n + 1/n, les rangs pairs tendent vers 1 et les rangs impairs vers −1 ; la suite complète ne converge donc pas. Une suite monotone et bornée relève d’un résultat plus fort : sa totalité converge.
Limites et pièges
Existence sans identification. La bornitude assure au moins une valeur d’adhérence, mais ne fournit ni sa valeur ni son unicité. Dans l’exemple un = (−1)n + 1/n, deux extractions convergent vers deux limites distinctes, 1 et −1. Il faut donc étudier les sous-suites ou ajouter d’autres hypothèses.
Condition suffisante, pas nécessaire. Une suite non bornée peut tout de même contenir une sous-suite convergente. Si u2k = 0 et u2k−1 = 2k−1, la suite est non bornée, mais ses termes pairs forment la sous-suite constante 0. L’absence de borne interdit seulement d’invoquer le théorème.
Dimension finie indispensable. Dans l’espace de Hilbert ℓ2, la suite des vecteurs de base en est bornée, car chaque vecteur a la norme 1. Pourtant, deux termes distincts restent à la distance √2 ; aucune sous-suite n’est de Cauchy, donc aucune ne converge. En dimension infinie, il faut une hypothèse de compacité supplémentaire.
Ensemble infini requis. Un ensemble fini borné peut ne posséder aucun point d’accumulation. La formulation ensembliste commence donc exactement au cas infini. Pour une suite qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs, une valeur répétée une infinité de fois fournit directement une sous-suite constante.
Pour aller plus loin
suite bornée — Précise comment reconnaître et exprimer l’hypothèse centrale du théorème.
Valeur d'adhérence — Développe le statut des limites obtenues par extraction d’une sous-suite.
Point d'accumulation — Éclaire la formulation ensembliste et le voisinage d’un point où les éléments s’accumulent.
compacité - topologie - — Replace l’extraction convergente dans la propriété plus générale des espaces compacts.
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