Point d'accumulation

Plaçons sur une droite les nombres 1, 1/2, 1/3, 1/4, et ainsi de suite. Ils se rapprochent de 0 sans jamais l’atteindre. Même en dessinant autour de 0 un intervalle minuscule, on y trouve toujours l’un de ces nombres. Le point 0 est donc un point d’accumulation de l’ensemble formé par les nombres 1/n.

L’idée essentielle est celle d’une présence inépuisable à proximité : aucun voisinage de 0 ne parvient à isoler 0 des points de l’ensemble. Le point d’accumulation peut d’ailleurs ne pas appartenir lui-même à l’ensemble.

Soit A un ensemble de points d’un espace topologique, et soit x un point de cet espace. Le point x est un point d’accumulation de A lorsque chaque voisinage V de x rencontre A en un point autre que x. Si A′ désigne l’ensemble dérivé de A, cette condition s’écrit $x\in A^{\mathrm{\prime }}⟺\mathrm{\forall }V\in \mathcal{V}(x),(V\setminus \{x\})\cap A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }x\backslash in\; A\text{'}\backslash Longleftrightarrow\; \backslash forall\; V\backslash in\backslash mathcal\; V(x),\backslash \; (V\backslash setminus\backslash \{x\backslash \})\backslash cap\; A\backslash ne\backslash varnothing$. Le point x n’a pas besoin d’appartenir à A.

Dans un espace métrique, les voisinages peuvent être décrits par des boules ouvertes. Le critère équivaut alors à l’existence d’une suite de points de A, tous différents de x, qui converge vers x. En notant ces points x_n, on a $x_n\in A\setminus \{x\}\text{et}{x}_n\to xx\_n\backslash in\; A\backslash setminus\backslash \{x\backslash \}\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; x\_n\backslash to\; x$. Ce critère séquentiel est garanti dans les espaces métriques, mais il ne remplace pas automatiquement la définition par voisinages dans tout espace topologique.

Pour une suite, le même vocabulaire vise une valeur obtenue comme limite d’une sous-suite convergente. Ainsi, une suite peut avoir plusieurs points d’accumulation sans converger elle-même. Ces points forment alors les valeurs d’adhérence de la suite, tandis que les points d’accumulation d’un ensemble forment son ensemble dérivé.

Considérons l’ensemble A des réels 1/n, où n est un entier au moins égal à 1. Vérifions que 0 est son unique point d’accumulation.

Données. Les premiers points sont 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 et 1/6. Le candidat est x = 0. Un voisinage de rayon ε autour de 0 est l’intervalle ouvert ]−ε, ε[, avec ε strictement positif. Ces points rendent visible le resserrement à établir.

1. Fixons un rayon ε strictement positif.

2. Choisissons un entier n strictement supérieur à 1/ε. Alors 0 < 1/n < ε, donc le point 1/n appartient à A et au voisinage ]−ε, ε[.

3. Le point 1/n diffère de 0. Chaque voisinage de 0 contient donc un autre point de A : 0 est bien un point d’accumulation.

4. Chaque point 1/k de A peut au contraire être isolé de tous les autres points de A par un intervalle assez petit. Il n’est donc pas un point d’accumulation de A.

Enfin, tout réel x qui n’appartient ni à A ni à {0} possède lui aussi un voisinage qui ne rencontre pas A. Si x < 0, un intervalle assez petit reste dans les réels négatifs. Si x > 0, choisissons N tel que 1/N < x/2 : les termes 1/n avec n ≥ N sont alors inférieurs à x/2, et un intervalle assez petit autour de x évite aussi les points du sous-ensemble fini {1, 1/2, …, 1/(N−1)}. Le résultat est donc A′ = {0}. Pour refaire le contrôle avec ε = 1/4, il suffit de prendre n = 5 : le point 1/5 appartient à ]−1/4, 1/4[ et diffère de 0.

Pour prouver qu’un point est un point d’accumulation dans un espace métrique, on construit souvent une suite de points de l’ensemble, différents du candidat, qui converge vers lui. Pour A = {1/n}, la suite 1/n fournit directement ce témoin pour 0.

Pour écarter un candidat, on cherche au contraire un voisinage qui ne contient aucun autre point de l’ensemble. Autour de 1/k, un intervalle plus étroit que les écarts avec les points voisins isole 1/k ; le bon diagnostic est alors « point isolé ».

Pour étudier une suite qui ne converge pas, on extrait des sous-suites. Si plusieurs extractions ont des limites différentes, chacune de ces limites est un point d’accumulation de la suite, alors que la suite entière n’a pas de limite.

Point adhérent. Un point adhérent à A exige seulement que chaque voisinage rencontre A, éventuellement uniquement au point lui-même. Pour A = {0}, le point 0 est adhérent à A, mais il n’est pas un point d’accumulation, car aucun autre point de A ne l’entoure.

Limite d’une suite. Une limite concerne le comportement de toute la suite à partir d’un certain rang. Un point d’accumulation de suite ne demande que la convergence d’une sous-suite. La suite (−1)ⁿ n’a pas de limite, mais ses sous-suites de rangs pairs et impairs ont pour limites 1 et −1.

Point isolé. Un point isolé de A appartient à A et possède un voisinage ne rencontrant A qu’en ce point. Dans A = {1/n}, chaque 1/k est isolé, tandis que 0 est un point d’accumulation extérieur à A.

Tester un seul voisinage ne suffit pas. Un grand intervalle peut contenir beaucoup de points de A sans que le candidat soit un point d’accumulation. Il faut vérifier la propriété pour chaque voisinage, donc pour tout rayon strictement positif dans un espace métrique.

Le candidat peut être extérieur à l’ensemble. Dans A = {1/n : n ≥ 1}, le symptôme trompeur est que 0 n’apparaît jamais parmi les termes. Il faut examiner les voisinages plutôt que l’appartenance : 0 appartient à A′ même s’il n’appartient pas à A.

La caractérisation par les suites dépend du cadre. Elle fonctionne dans tout espace métrique. Dans un espace topologique arbitraire, des suites ordinaires peuvent ne pas détecter toute l’information des voisinages ; la définition topologique reste alors le critère sûr.

En espace métrique, un ensemble fini n’a aucun point d’accumulation. Autour de chaque candidat, une boule assez petite exclut les autres points du fini. Cette conclusion ne doit pas être transférée sans hypothèse de séparation à une topologie arbitraire.

L’étude des points d’accumulation ouvre sur la structure locale d’un espace, la fermeture d’un ensemble et les phénomènes de compacité.

Voisinage — Préciser l’outil local qui exprime la proximité sans imposer de distance.

adhérence - topologie - — Relier points adhérents, points d’accumulation et fermeture d’un ensemble.

théorème de Bolzano-Weierstrass — Voir pourquoi les ensembles infinis bornés de réels possèdent un point d’accumulation.