Dérivé d'un compact

Placez sur une droite les nombres 1, 1/2, 1/3, 1/4, et ainsi de suite, puis ajoutez 0. Les points 1/n se serrent de plus en plus près de 0. Quelle que soit la petite zone choisie autour de 0, elle contient encore des points de la liste, et même une infinité. Le nombre 0 est donc un point d'accumulation.

En revanche, chaque point 1/n peut être isolé dans une zone assez petite. Le dérivé conserve les lieux où les points s'accumulent et écarte les points isolés. Dans cet exemple, il ne reste que 0.

Soit K un compact inclus dans un espace topologique X. Le dérivé de K, noté K′, est l'ensemble des points x de X tels que tout voisinage de x rencontre K privé de x. Autrement dit, x appartient à K′ lorsque aucun voisinage de x ne réussit à isoler x de tous les autres points de K. Cette définition vaut même si x n'appartient pas à K.

Dans un espace métrique, la condition équivaut à l'existence d'une suite de points de K, tous différents de x, qui converge vers x. Comme un compact métrique est fermé, tous ses points d'accumulation lui appartiennent : K′ est alors un sous-ensemble fermé de K, donc un compact. Si K est fini, K′ est vide. Si K est parfait, c'est-à-dire fermé et sans point isolé, alors K′ = K.

On peut recommencer l'opération. Le dérivé d'ordre zéro est K ; à une étape successeur, on dérive l'ensemble obtenu ; à une étape limite, on prend l'intersection de tous les ensembles précédents. Pour un compact métrisable, cette itération sépare finalement un noyau parfait d'une partie dénombrable formée de points éliminés au fil des étapes : c'est la décomposition de Cantor-Bendixson.

Dans la droite réelle, considérons le compact K formé de 0 et des nombres 1/n pour tous les entiers positifs n. Le schéma place les premiers termes exactement et montre leur resserrement vers 0.

Données.
Espace ambiant : la droite réelle.
Ensemble : K = {0} ∪ {1/n : n ≥ 1}.
Voisinages : les intervalles ouverts centrés au point étudié.

Étape 1. Soit ε un réel strictement positif. Si l'entier n est supérieur à 1/ε, alors 0 < 1/n < ε. Tout voisinage de 0 contient donc tous les termes d'indice assez grand. Ainsi, 0 appartient à K′.

Étape 2. Pour chaque entier positif m, le point 1/m est séparé des autres termes par une distance strictement positive. Un intervalle assez court l'isole donc dans K. Ainsi, 1/m n'appartient pas à K′.

Résultat. Le seul point d'accumulation est 0, donc K′ = {0}. En dérivant une seconde fois, le singleton {0} ne possède aucun point d'accumulation : K″ est vide.

Contrôle. Chaque 1/m possède un voisinage isolant. À l'inverse, le choix n > 1/ε fournit un point distinct de 0 dans chaque voisinage de 0.

Pour analyser un ensemble donné par une suite, on cherche d'abord ses limites possibles. Dans K = {0} ∪ {1/n : n ≥ 1}, la convergence de 1/n vers 0 signale le candidat 0 ; un test par voisinages confirme qu'il appartient au dérivé.

Pour décider si un point doit être retiré, on tente au contraire de l'isoler. Si un voisinage ne rencontre l'ensemble qu'en ce point, celui-ci n'est pas dans le dérivé. Ce test est préférable au simple dessin lorsque des points très rapprochés semblent se toucher.

Pour étudier la structure globale d'un compact, on répète enfin l'opération. Si le processus aboutit à l'ensemble vide, le compact est dispersé. S'il se stabilise sur un ensemble non vide, la partie restante est son noyau parfait.

Dérivé et adhérence. L'adhérence ajoute tous les points que l'ensemble approche, tout en conservant ses points isolés. Le dérivé ne conserve que les points d'accumulation. Pour K = {0} ∪ {1/n : n ≥ 1}, l'adhérence vaut K, tandis que K′ = {0}.

Point d'accumulation et point isolé. Un point d'accumulation voit d'autres points de l'ensemble dans chacun de ses voisinages. Un point isolé possède au moins un voisinage qui ne rencontre l'ensemble qu'en lui-même. Dans K, 0 est d'accumulation et 1/2 est isolé.

Dérivé et frontière. La frontière repère les points dont tout voisinage rencontre à la fois l'ensemble et son complément. Dans la droite réelle, la frontière de K est tout K, alors que son dérivé se réduit à {0}.

Compact fini. Aucun point d'un ensemble fini dans un espace métrique n'est un point d'accumulation. Chaque point peut être isolé par une boule assez petite, et le dérivé est vide dès la première étape.

Compact parfait. Un intervalle fermé non réduit à un point ou l'ensemble de Cantor n'a aucun point isolé. Son dérivé coïncide donc avec l'ensemble lui-même ; répéter la dérivation ne retire alors aucun point.

Topologie générale. Le critère fondamental est que tout voisinage de x rencontre K privé de x. Dire qu'il contient une infinité d'autres points exige notamment une séparation de type T1, satisfaite dans tout espace métrique. Sans cette hypothèse, il faut revenir au critère par K privé de x.

Étape limite. Une dérivation transfinie ne consiste pas à choisir arbitrairement un dérivé antérieur. À un ordinal limite, il faut prendre leur intersection. Omettre cette règle peut changer l'ensemble obtenu et invalider la décomposition de Cantor-Bendixson.

La fiche Point d'accumulation approfondit le critère local qui décide quels points appartiennent au dérivé.

La notion de Voisinage précise l'outil topologique employé pour distinguer accumulation et isolement.

L'ensemble de Cantor fournit un compact parfait classique : son dérivé est égal à lui-même.