Point isolé

Sur une droite, imaginez les points 1, 1/2, 1/3, 1/4, et ainsi de suite, auxquels on ajoute 0. Autour de 1/3, on peut tracer un intervalle assez petit pour ne rencontrer aucun autre point de cette collection. Le point 1/3 est donc isolé.

Autour de 0, en revanche, tout intervalle contient des inverses d'entiers strictement positifs, aussi serré soit-il. Le point 0 appartient bien à l'ensemble, mais il n'y est pas isolé.

Soit A une partie d'un espace topologique. Un point x de A est isolé dans A lorsqu'il existe un voisinage de x dont l'intersection avec A se réduit à x. Autrement dit, ce voisinage peut contenir des points de l'espace ambiant, mais aucun autre point de A. Cette propriété dépend donc à la fois de l'ensemble A et de la topologie considérée.

En notant V ce voisinage, le critère s'écrit $V\cap A=\{x\}V\; \backslash cap\; A\; =\; \backslash \{x\backslash \}$. Il équivaut, dans la topologie induite sur A, à dire que le singleton formé par x est un ouvert de A. Dans un espace métrique, cela revient à trouver un rayon strictement positif tel que la boule ouverte centrée en x ne rencontre A qu'en x. Un ensemble est discret lorsque chacun de ses points est isolé dans la topologie induite. Dans l'usage courant, un ensemble parfait est fermé et ne possède aucun point isolé ; l'ensemble de Cantor en fournit un exemple classique.

L'expression « singularité isolée » transpose la même idée à l'analyse complexe : une fonction holomorphe présente un point singulier entouré d'une zone où elle reste holomorphe. Une telle singularité est effaçable, un pôle ou une singularité essentielle. Il s'agit d'une propriété de la fonction près du point, et non d'un point isolé d'un sous-ensemble.

On considère dans la droite réelle l'ensemble A formé de 0 et de tous les nombres 1/n, où n parcourt les entiers strictement positifs. On cherche à décider si 1/3 et 0 sont isolés dans A.

Données.
Le point étudié est 1/3.
Ses voisins les plus proches dans A sont 1/4 et 1/2.
On choisit le rayon 1/24.

1. L'intervalle ouvert de centre 1/3 et de rayon 1/24 a pour bornes 7/24 et 3/8.

2. La fraction 1/4 est inférieure à 7/24, tandis que 1/2 est supérieure à 3/8. Aucun autre terme 1/n ne peut se glisser entre ces deux voisins consécutifs de 1/3. L'intervalle ne rencontre donc A qu'en 1/3 : ce point est isolé.

3. Pour contrôler le cas de 0, prenez n'importe quel rayon positif. Il existe un entier n assez grand pour que 1/n soit plus petit que ce rayon. Tout intervalle centré en 0 rencontre donc A ailleurs qu'en 0 : le point 0 n'est pas isolé.

Pour tester un point dans une partie de la droite ou du plan, on cherche une zone ouverte qui ne capture aucun autre point de la partie. Si les points se rapprochent indéfiniment du point étudié, le bon diagnostic est celui d'un point d'accumulation, non d'un point isolé.

Pour reconnaître un ensemble discret, on répète ce test à chacun de ses points. Les voisinages peuvent avoir des tailles différentes : il n'est pas nécessaire de trouver un rayon unique valable partout.

En analyse complexe, on vérifie plutôt qu'une fonction est holomorphe dans un voisinage privé du point singulier. Une fois l'isolement établi, l'étude du comportement près du point conduit à choisir entre singularité effaçable, pôle et singularité essentielle.

Point d'accumulation. Tout voisinage d'un point d'accumulation rencontre l'ensemble en un point distinct du point étudié. Dans A formé de 0 et des inverses des entiers strictement positifs, le point 0 est un point d'accumulation, tandis que 1/3 est isolé.

Singularité isolée. Le test porte ici sur une fonction : elle doit être holomorphe assez près du point, sauf éventuellement au point lui-même. Une fraction 1/3 isolée dans un ensemble relève de la topologie des sous-ensembles, pas de cette classification analytique.

L'espace ambiant compte. Dire qu'un point est isolé sans préciser l'ensemble et la topologie peut être trompeur. Un même point peut être isolé dans une partie A, mais ne pas l'être dans une partie plus grande qui contient des points arbitrairement proches.

Un rayon commun n'est pas requis. Dans l'ensemble des inverses des entiers strictement positifs, chaque point est isolé, même si l'écart entre deux termes consécutifs tend vers 0. Il faut choisir un voisinage adapté à chaque point, pas imposer une séparation uniforme.

Être sans point isolé ne suffit pas toujours pour dire « parfait ». Selon la convention topologique usuelle, l'ensemble doit aussi être fermé. L'ensemble de Cantor satisfait ces deux conditions : il est fermé et chacun de ses points est approché par d'autres points de l'ensemble.

Une singularité doit réellement être isolée. Si d'autres singularités s'accumulent au point étudié, aucun voisinage privé de ce point ne rend la fonction holomorphe. La classification en singularité effaçable, pôle ou singularité essentielle ne s'applique alors pas à ce point.

Le glossaire Point d'accumulation développe le critère opposé : tout voisinage retrouve un autre point de l'ensemble.

La fiche ensemble de Cantor présente un ensemble fermé parfait, donc dépourvu de points isolés.

L'entrée singularité prolonge l'usage du mot « isolée » en analyse complexe et situe les trois types mentionnés ici.