Discontinu (ensemble totalement)

Imaginez d’abord un espace dont les points ne peuvent être reliés par aucune ligne continue restant entièrement dans l’espace. Cette image aide à se représenter la notion, mais elle ne suffit pas : certains espaces connexes ne contiennent pourtant aucun chemin non constant. La propriété exacte porte sur tous les sous-ensembles connexes : si chacun se réduit à un point, l’espace est totalement discontinu.

L’ensemble de Cantor donne une image frappante de cette situation : il contient une infinité non dénombrable de points, mais chacun constitue à lui seul une composante connexe. « Totalement discontinu » ne signifie donc ni fini ni constitué de points isolés.

Un espace topologique est totalement discontinu lorsque toutes ses composantes connexes sont des singletons, c’est-à-dire des ensembles réduits à un point. Une composante connexe d’un point est le plus grand sous-ensemble connexe qui contient ce point. De manière équivalente, tout sous-ensemble connexe de l’espace possède au plus un point.

La propriété dépend à la fois de l’ensemble de points et de sa topologie. Elle interdit tout sous-ensemble connexe comportant deux points distincts, mais elle n’impose pas que chaque singleton soit ouvert. Ainsi, l’ensemble des nombres rationnels muni de la topologie induite par la droite réelle est totalement discontinu sans être discret. L’ensemble de Cantor, avec la topologie héritée de la droite réelle, est un autre exemple : il est même compact et ne possède aucun point isolé.

Cette notion concerne la connexité d’un espace. Elle ne décrit pas les points où une fonction manque de continuité, malgré la proximité des mots « discontinu » et « discontinuité ».

Quatre éléments organisent la notion. L’ensemble sous-jacent fournit les points. La topologie précise les ouverts et détermine quels sous-ensembles sont connexes. Un sous-ensemble connexe ne peut pas être partagé en deux ouverts relatifs non vides et disjoints. Enfin, la composante connexe d’un point réunit tous les morceaux connexes qui contiennent ce point.

La topologie commande donc la connexité, et la connexité commande la taille des composantes. L’espace est totalement discontinu exactement lorsque chacune de ces composantes se réduit à son point de départ. La distance, le dessin ou l’espacement apparent des points ne font pas partie de la définition ; ils n’interviennent que s’ils servent à définir la topologie. Ces données suffisent à tester la propriété sur tous les sous-ensembles connexes.

Prenons l’ensemble de Cantor dans l’intervalle [0, 1]. Les données sont la construction par suppressions successives des tiers centraux, et deux points distincts de l’ensemble, notés x et y, avec x < y.

1. Après n étapes, les intervalles conservés ont tous une longueur égale à $3^{-n}3^\{-n\}$. Cette longueur tend vers zéro lorsque le nombre d’étapes n augmente.

2. Il existe donc une étape où x et y se trouvent dans deux intervalles conservés distincts. Entre ces intervalles se trouve un intervalle ouvert supprimé.

3. Choisissons un nombre c dans cet intervalle supprimé. Les points de Cantor strictement inférieurs à c et ceux strictement supérieurs à c forment deux ouverts relatifs disjoints.

4. Tout sous-ensemble de Cantor contenant x et y rencontre ces deux ouverts. Il n’est donc pas connexe.

Le contrôle vaut pour n’importe quelle paire de points distincts : aucun sous-ensemble connexe n’en contient deux. Chaque composante connexe de l’ensemble de Cantor est donc un singleton.

Pour reconnaître un sous-espace de la droite réelle, on cherche si deux de ses points pourraient être reliés par un intervalle entièrement contenu dans ce sous-espace. Entre deux rationnels distincts se trouve un irrationnel ; aucun intervalle non réduit à un point n’est donc contenu dans les rationnels. Cela prouve que leur espace est totalement discontinu.

Pour étudier un sous-espace d’un espace déjà totalement discontinu, il suffit d’utiliser l’hérédité de la propriété : tout sous-ensemble connexe du sous-espace est aussi connexe dans l’espace initial. On préfère cet argument à une nouvelle recherche de toutes les composantes.

Pour réfuter la propriété, le geste est inverse : il suffit d’exhiber un seul sous-ensemble connexe contenant deux points, par exemple un segment non réduit à un point. Cette preuve directe est préférable au calcul de chaque composante.

Fonction discontinue. Cette expression porte sur la continuité d’une application en un point ou sur un domaine. Un espace totalement discontinu porte sur les sous-ensembles connexes de sa topologie. La fonction signe est discontinue en 0, tandis que son domaine réel n’est pas totalement discontinu.

Espace discret. Dans un espace discret, chaque singleton est ouvert ; cela entraîne la totale discontinuité. La réciproque est fausse : les rationnels sont totalement discontinus, mais aucun de leurs points n’est isolé dans la topologie induite par la droite réelle.

Non connexe. Un espace non connexe se sépare en deux ouverts relatifs non vides, mais chacune des deux parties peut encore contenir un continuum. L’union de deux intervalles disjoints est non connexe sans être totalement discontinue.

Une infinité de points n’empêche rien. Le symptôme trompeur est de prendre une accumulation dense de points pour un morceau connexe. Il faut tester les sous-ensembles connexes : les rationnels sont denses dans la droite et pourtant totalement discontinus.

Absence de points isolés. Un point non isolé possède d’autres points arbitrairement proches, mais cela ne crée pas de composante à plusieurs points. Dans l’ensemble de Cantor, tous les points sont des points d’accumulation et toutes les composantes restent des singletons.

Cas vide ou réduit à un point. L’espace vide est totalement discontinu par vacuité, puisqu’il n’a aucune composante contraire à la condition. Un singleton l’est aussi, et possède exactement une composante connexe. Ces cas charnières ne doivent pas être exclus implicitement.

Une image peut recoller les points. La propriété se transmet aux sous-espaces, mais pas à toute image continue. Une application continue surjective peut envoyer un espace totalement discontinu sur un intervalle connexe ; il faut donc vérifier les composantes de l’espace d’arrivée au lieu d’invoquer l’espace de départ.

La fiche connexité - topologie - précise comment reconnaître un morceau connexe et comprendre le rôle des composantes.

La fiche ensemble de Cantor développe la construction de l’exemple classique, infini, compact et totalement discontinu.