point adhérent

Sur une droite, marquez 0 puis les nombres 1, 1/2, 1/3, 1/4, et ainsi de suite. Les points 1/n se rapprochent indéfiniment de 0. Quel que soit le petit intervalle choisi autour de 0, il contient donc une marque. On dit que 0 est adhérent à cet ensemble.

L'idée ne demande pas que le point soit entouré d'autres marques : une marque isolée, comme 1 ici, est aussi adhérente. Elle appartient elle-même à l'ensemble, donc tout voisinage qui la contient rencontre l'ensemble.

Soit un espace topologique nommé X, une partie A de X et un point x de X. Le point x est adhérent à A lorsque chacun de ses voisinages possède au moins un point commun avec A. En notant V un voisinage de x, le critère s'écrit $x\in \bar{A}⟺\mathrm{\forall }V\in \mathcal{V}(x),V\cap A\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }x\backslash in\backslash overline\{A\}\backslash Longleftrightarrow\backslash forall\; V\backslash in\backslash mathcal\{V\}(x),\backslash \; V\backslash cap\; A\backslash neq\backslash varnothing$. Le symbole $\bar{A}\backslash overline\{A\}$ désigne l'adhérence, aussi appelée fermeture, de A.

De façon équivalente, aucun ouvert contenant x ne peut être disjoint de A. Le point x peut appartenir à A ou non. S'il appartient à A, il est automatiquement adhérent puisque chaque voisinage de x contient x.

Deux situations sont possibles parmi les points adhérents. Un point d'accumulation rencontre A, dans tout voisinage, en un point distinct de lui-même. Un point isolé appartient à A mais admet un voisinage où aucun autre point de A ne se trouve. L'ensemble de tous les points adhérents est exactement $\bar{A}\backslash overline\{A\}$.

Dans la droite réelle munie de sa topologie usuelle, considérons l'entier naturel n non nul et l'ensemble A défini par $A=\{0\}\cup \{1\mathrm{/}n\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}A=\backslash \{0\backslash \}\backslash cup\backslash \{1/n\backslash mid\; n\backslash in\backslash mathbb\{N\}^\{*\}\backslash \}$.
Données : A contient 0, 1, 1/2, 1/3, etc. ; le point testé est d'abord 0, puis 1 ; les voisinages sont des intervalles ouverts contenant le point testé.

1. Prenons un rayon positif r quelconque autour de 0.
2. Il existe un entier n assez grand pour que . L'intervalle ouvert de centre 0 et de rayon r rencontre donc A en un point distinct de 0.
3. Ainsi, 0 est un point d'accumulation de A, donc un point adhérent.
4. Autour de 1, l'intervalle ouvert $(3\mathrm{/}4,5\mathrm{/}4)(3/4,5/4)$ ne contient aucun autre point de A. Pourtant, il contient 1 : ce point isolé est lui aussi adhérent.

Pour contrôler le raisonnement, le point 2 n'est pas adhérent : l'intervalle ouvert $(3\mathrm{/}2,5\mathrm{/}2)(3/2,5/2)$ ne rencontre pas A. La figure synthétise les deux manières, accumulation ou appartenance isolée, d'être adhérent dans cet exemple.

Pour décider si un point est adhérent, cherchez d'abord un voisinage qui évite entièrement l'ensemble. Un seul voisinage disjoint suffit pour répondre non ; si aucun n'existe, le point est adhérent.

Dans la droite réelle, les intervalles ouverts centrés au point testé servent de voisinages. Pour 0 face aux nombres 1/n, réduire l'intervalle ne chasse jamais tous les points de l'ensemble : il faut donc conclure à l'adhérence.

Si le point appartient déjà à l'ensemble, le verdict est immédiat : il est adhérent. Il reste alors à examiner les autres points du voisinage seulement si l'on veut distinguer un point isolé d'un point d'accumulation.

Point adhérent et point d'accumulation. Pour l'accumulation, chaque voisinage doit contenir un point de A distinct du point testé. Le point 1 de l'exemple est adhérent, mais l'intervalle ouvert $(3\mathrm{/}4,5\mathrm{/}4)(3/4,5/4)$ montre qu'il n'est pas un point d'accumulation.

Point adhérent et point appartenant à A. Tout point de A est adhérent, mais la réciproque est fausse. Si l'on retirait 0 de l'ensemble de l'exemple, 0 resterait adhérent aux nombres 1/n sans leur appartenir.

Point adhérent et adhérence. Le premier est un point soumis au critère des voisinages ; la seconde est l'ensemble de tous les points qui satisfont ce critère.

Oublier le point lui-même. Un voisinage rencontre A dès qu'il contient le point testé lorsque celui-ci appartient à A. Exiger un second point transformerait à tort le critère d'adhérence en critère d'accumulation.

Tester seulement quelques voisinages. Des intervalles de rayon 1, puis 1/10, qui rencontrent A ne prouvent pas encore une affirmation portant sur tous les voisinages. Il faut un argument valable pour tout rayon positif, comme le choix d'un entier n vérifiant .

Changer silencieusement de topologie. Les voisinages dépendent de la topologie choisie. Le verdict obtenu avec les intervalles ouverts usuels de la droite réelle ne se transpose pas automatiquement à une autre topologie ; il faut reprendre le critère avec ses propres voisinages.

Chercher une distance dans tout espace topologique. Un espace topologique général ne fournit pas nécessairement de rayon. Le bon geste est alors de raisonner directement avec les voisinages, ou de chercher un ouvert contenant le point et disjoint de A.

Le glossaire Voisinage précise l'objet sur lequel porte le critère d'adhérence dans un espace topologique.

La fiche Point d'accumulation approfondit le cas où tout voisinage contient un point de l'ensemble distinct du point testé.

La fiche Point isolé étudie l'autre cas présent dans la définition source : un point de l'ensemble séparé de tous les autres.

Le glossaire adhérence - topologie - présente l'ensemble obtenu en réunissant tous les points adhérents à A.