Frontière

Colorions sur une droite tous les nombres de l’intervalle [1, 3]. Le nombre 2 est bien au milieu : en regardant assez près de 2, on ne voit que des nombres de l’intervalle. À l’inverse, près de 0, on peut éviter entièrement l’intervalle.

Aux points 1 et 3, aucune observation, même très resserrée, ne sépare les deux côtés : elle rencontre toujours l’intervalle et ce qui est hors de lui. Ces deux points forment sa frontière. Sur une droite, un point frontière met ainsi localement en contact l’ensemble et son extérieur.

Soit un espace topologique X et une partie A de X. Le complémentaire de A est la partie X ∖ A formée des points qui ne sont pas dans A. Un point x appartient à la frontière de A lorsque tout voisinage de x rencontre à la fois A et X ∖ A. La frontière se note Fr(A), ou parfois bord(A).

L’adhérence d’une partie réunit ses points et tous ceux que cette partie approche arbitrairement. Avec cette notion, la définition s’écrit $\mathrm{Fr}(A)=\bar{A}\cap \overline{X\setminus A}\backslash operatorname\{Fr\}(A)=\backslash overline\{A\}\backslash cap\backslash overline\{X\backslash setminus\; A\}$. Si l’intérieur de A, noté int(A), désigne les points qui possèdent un voisinage entièrement contenu dans A, on obtient aussi $\mathrm{Fr}(A)=\bar{A}\setminus \mathrm{int}(A)\backslash operatorname\{Fr\}(A)=\backslash overline\{A\}\backslash setminus\backslash operatorname\{int\}(A)$.

La frontière dépend de l’espace ambiant et de sa topologie. Dans la droite réelle munie de sa topologie usuelle, l’intervalle fermé [a, b], avec a < b, a pour frontière {a, b}. Les intervalles (a, b), [a, b) et (a, b] ont exactement la même frontière : appartenir à l’ensemble n’est donc pas nécessaire pour être un point frontière.

On travaille dans la droite réelle avec sa topologie usuelle.
Données : l’ensemble étudié est A = [1, 3] ; son complémentaire rassemble les nombres strictement inférieurs à 1 ou strictement supérieurs à 3 ; les voisinages sont les intervalles ouverts centrés sur le point testé.

1. Testons 1. Pour tout rayon positif ε, le voisinage (1 − ε, 1 + ε) contient 1, donc rencontre A, et contient 1 − ε/2, qui est hors de A.
2. Le même raisonnement en 3 utilise 3 − ε/2 dans A et 3 + ε/2 hors de A.
3. Si x est strictement entre 1 et 3, un rayon plus petit que les deux distances x − 1 et 3 − x donne un voisinage contenu dans A.
4. Si x est hors de [1, 3], un rayon plus petit que sa distance à l’intervalle donne un voisinage disjoint de A.

Seuls 1 et 3 réussissent donc le double test : $\mathrm{Fr}([1,3])=\{1,3\}\backslash operatorname\{Fr\}([1,3])=\backslash \{1,3\backslash \}$. Le contrôle consiste à refaire le test avec un rayon arbitrairement petit : chaque voisinage des deux extrémités conserve un point de chaque côté.

Pour déterminer la frontière d’un intervalle, ou d’un sous-ensemble de la droite décrit par des extrémités, on teste d’abord ces extrémités. On garde celles dont chaque voisinage contient un point de l’ensemble et un point extérieur, qu’elles appartiennent ou non à l’ensemble.

Pour un domaine du plan, on examine localement les points du contour pressenti. Si un petit disque autour d’un point coupe toujours le domaine et son complémentaire, ce point est sur la frontière. Si un disque tient entièrement d’un côté, il ne l’est pas.

Quand la description par voisinages devient lourde, on peut calculer l’adhérence puis retirer l’intérieur. Le test direct reste préférable pour quelques points simples ; l’identité $\mathrm{Fr}(A)=\bar{A}\setminus \mathrm{int}(A)\backslash operatorname\{Fr\}(A)=\backslash overline\{A\}\backslash setminus\backslash operatorname\{int\}(A)$ est souvent plus efficace pour une partie décrite globalement.

Frontière et adhérence. L’adhérence contient l’ensemble et tous ses points limites ; la frontière ne conserve que les points au contact du complémentaire. Pour A = [1, 3], l’adhérence est [1, 3], tandis que la frontière est {1, 3}.

Frontière et complémentaire. Le complémentaire rassemble tous les points hors de A ; la frontière est le lieu de contact entre les deux parties. Pour A = [1, 3], le nombre 0 appartient au complémentaire mais pas à la frontière, car un petit voisinage de 0 évite A.

Frontière et frontière géographique. En topologie, aucune ligne tracée ni séparation administrative n’est requise. Le critère est local : tout voisinage doit rencontrer l’ensemble et son complémentaire. Dans la droite, la frontière de [1, 3] se réduit ainsi à deux points.

Ouvert ou fermé ne suffit pas. Changer [1, 3] en (1, 3) ne change pas sa frontière : elle reste {1, 3}. Le symptôme du piège est de ne retenir que les extrémités incluses. Il faut tester les voisinages, pas l’appartenance du point.

L’espace ambiant compte. La partie [1, 3] a pour frontière {1, 3} dans la droite réelle. Considérée dans l’espace [1, 3] muni de la topologie induite, cette même partie est l’espace entier et sa frontière est vide. Il faut donc annoncer X avant de calculer Fr(A).

Une frontière peut être très grande. Dans la droite réelle, les nombres rationnels et les nombres irrationnels rencontrent tout intervalle ouvert. La frontière de l’ensemble des rationnels est alors toute la droite, et non un contour discret. Le bon réflexe consiste à appliquer le critère des voisinages.

Les cas extrêmes ont un bord vide. Dans tout espace topologique X, l’ensemble vide et X lui-même ont une frontière vide. Aucun voisinage ne peut rencontrer simultanément l’une de ces parties et son complémentaire. Cette vérification évite de supposer que tout ensemble possède des points frontière.

adhérence - topologie - — Relier la frontière aux points qu’un ensemble approche arbitrairement.

Voisinage — Approfondir le test local qui caractérise chaque point frontière.

complémentaire d'un ensemble — Identifier précisément l’autre partie que tout voisinage frontalier doit rencontrer.