complémentaire d'un ensemble

Imaginez dix cartes numérotées de 1 à 10. Vous mettez de côté les cartes paires : 2, 4, 6, 8 et 10. Toutes les cartes restées en dehors, soit 1, 3, 5, 7 et 9, forment alors le complémentaire des cartes paires.

Le mot « complémentaire » dépend donc toujours d'un ensemble de référence. Si l'on change les cartes disponibles, ce qui reste peut changer aussi.

On part d'un ensemble de référence, appelé E, et d'une partie A incluse dans E. Le complémentaire de A dans E rassemble exactement les éléments de E qui ne sont pas dans A. Il se note Aᶜ, ∁_EA ou E \ A. La définition formelle est $A^c=\{x\in E\mid x\mathrm{\notin }A\}A^c=\backslash \{x\backslash in\; E\backslash mid\; x\backslash notin\; A\backslash \}$.

Les deux parties A et Aᶜ n'ont aucun élément commun, et leur réunion redonne E. Autrement dit, $A\cap A^c=\mathrm{\varnothing }\text{et}A\cup A^c=EA\backslash cap\; A^c=\backslash varnothing\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; A\backslash cup\; A^c=E$. Elles constituent ainsi une partition de E. Prendre deux fois le complémentaire ramène à l'ensemble initial : $(A^c{)}^c=A(A^c)^c=A$.

Le choix de E est indispensable. Par exemple, le complémentaire des nombres pairs n'est pas le même parmi les entiers naturels et parmi les cartes numérotées de 1 à 10.

La construction repose sur quatre éléments. L'univers E fixe tout ce qui peut être considéré. La partie A sélectionne certains éléments de cet univers. La règle « appartenir à E sans appartenir à A » détermine Aᶜ. Enfin, l'ensemble vide décrit l'absence de recouvrement entre A et Aᶜ.

A doit être incluse dans E pour que cette complémentation soit définie dans ce cadre. Une fois E et A fixés, Aᶜ est entièrement déterminé : chaque élément de E va dans une seule des deux parties. Leur réunion reconstruit E, tandis que leur intersection reste vide. La forme, la couleur ou la disposition choisies dans un dessin ne définissent pas ces ensembles. Une représentation en deux zones rend cependant cette partition visible sur l'exemple des dix cartes.

On dispose de dix cartes numérotées de 1 à 10. L'ensemble de référence est E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La partie A contient les cartes portant un nombre pair.

1. On énumère A : A = {2, 4, 6, 8, 10}.
2. On parcourt E et l'on écarte chaque élément déjà présent dans A.
3. Les éléments restants sont 1, 3, 5, 7 et 9.
4. On obtient donc Aᶜ = {1, 3, 5, 7, 9}.

Le contrôle se refait élément par élément : A et Aᶜ ne partagent aucune carte, et leurs cinq cartes respectives réunies redonnent bien les dix éléments de E.

Pour décrire les résultats qui ne vérifient pas une propriété, on fixe d'abord l'univers. Parmi les cartes de 1 à 10, demander les cartes « non paires » conduit directement au complémentaire de l'ensemble des cartes paires.

En probabilités, le complémentaire traduit l'événement « non A ». Lorsque la probabilité de A est connue, celle de l'événement contraire s'obtient par $P(A^c)=1-P(A)P(A^c)=1-P(A)$. On préfère cette voie lorsque l'événement contraire est plus simple à compter.

Dans un filtre ou une recherche, exclure une catégorie revient à conserver son complémentaire dans la collection examinée. Si plusieurs catégories doivent être combinées, les lois de De Morgan permettent de transformer proprement les négations d'unions ou d'intersections.

Complémentaire et différence. La différence E \ A est bien le complémentaire de A lorsque E est l'univers fixé. En revanche, B \ A désigne seulement les éléments de B absents de A ; ce n'est pas « le » complémentaire de A si B n'est pas l'univers.

Complémentaire et ensemble réciproque. Le complémentaire retire de l'univers les éléments de A. Une réciproque concerne plutôt l'inversion d'une relation ou d'une fonction. Pour A = {2, 4} dans E = {1, 2, 3, 4}, le complémentaire est {1, 3} : aucune opération n'est inversée.

Complémentaire et opposé numérique. Le nombre opposé de 3 est −3, tandis que le complémentaire de {3} dans {1, 2, 3} est {1, 2}. Le premier change un nombre ; le second sélectionne les éléments extérieurs à une partie.

Univers omis. Écrire Aᶜ sans avoir fixé E rend la réponse ambiguë. Le symptôme est qu'un même A produit plusieurs listes possibles. Il faut annoncer l'ensemble de référence ou écrire explicitement E \ A.

Cas extrêmes. Si A est vide, son complémentaire est E. Si A est égal à E, son complémentaire est vide. Ces deux cas respectent encore la réunion égale à E et l'intersection vide ; ils ne doivent pas être exclus comme des exceptions.

Éléments hors de E. Un objet absent de l'univers n'entre pas automatiquement dans Aᶜ. Avec E = {1, …, 10}, le nombre 11 n'appartient ni à A ni à son complémentaire dans E. Il faut d'abord vérifier l'appartenance à E.

Négation mal distribuée. Pour deux parties A et B d'un même univers E, les lois de De Morgan donnent $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c(A\backslash cup\; B)^c=A^c\backslash cap\; B^c$ et $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c(A\backslash cap\; B)^c=A^c\backslash cup\; B^c$. Il faut donc échanger union et intersection quand la complémentation porte sur toute l'expression.

La fiche De Morgan (lois de) développe les deux identités qui transforment le complémentaire d'une union ou d'une intersection.

La notion de partition d'un ensemble précise pourquoi A et Aᶜ découpent E en deux parties disjointes qui le recouvrent.

L'article Intersection aide à lire la propriété selon laquelle A et Aᶜ n'ont aucun élément commun.

La fiche Ensemble vide éclaire le rôle de l'ensemble sans élément dans les cas extrêmes et les intersections disjointes.