diagramme de Venn

Prenez les nombres de 1 à 12. Un cercle rassemble les nombres pairs, un autre les multiples de 3. Le nombre 6 appartient aux deux groupes : il se place donc dans la zone où les cercles se chevauchent. Le nombre 5 n'appartient à aucun des deux et reste à l'extérieur.

Un diagramme de Venn transforme ainsi des propriétés en régions visibles. Le chevauchement montre ce que les ensembles ont en commun ; l'ensemble des deux cercles montre ce qui appartient à l'un, à l'autre ou aux deux.

Un diagramme de Venn représente des ensembles par des courbes fermées simples, c'est-à-dire sans croisement avec elles-mêmes. Chaque courbe sépare les éléments qui possèdent une propriété de ceux qui ne la possèdent pas. Les courbes, souvent circulaires ou elliptiques, se recoupent afin de faire apparaître les différentes combinaisons d'appartenance.

Pour deux ensembles nommés A et B, leur intersection A ∩ B contient les éléments communs. Leur réunion A ∪ B contient les éléments qui appartiennent à A, à B ou aux deux. Le complément de A dépend d'un ensemble de référence, appelé univers : il regroupe les éléments de cet univers qui ne sont pas dans A. Les régions codent donc l'appartenance logique ; leur aire, leur forme et leur couleur ne mesurent rien par elles-mêmes.

Le logicien britannique John Venn (1834-1923) a développé cette représentation à partir des diagrammes circulaires introduits par Leonhard Euler (1707-1783), en améliorant et en généralisant leur principe. Deux ou trois ensembles se prêtent bien aux cercles. Quatre ou cinq ensembles peuvent aussi être représentés, mais des courbes plus élaborées deviennent parfois nécessaires et la lecture perd en clarté au-delà de trois.

On rencontre ce support dans un exercice qui classe des nombres, dans une enquête qui croise deux réponses ou dans un raisonnement logique sur plusieurs propriétés. Plusieurs courbes fermées occupent alors le même cadre. Elles portent le nom des ensembles, se chevauchent et découpent des zones distinctes. Des éléments, des effectifs ou des étiquettes peuvent être placés dans ces zones.

Le cadre extérieur indique parfois l'univers étudié. L'information importante est la région d'appartenance de chaque élément, non la taille visuelle des courbes, sauf mention explicite d'une représentation proportionnelle.

La grandeur lue est une appartenance, ou un effectif inscrit dans une région. 1. Le lecteur identifie d'abord l'univers et la propriété associée à chaque courbe. 2. Il choisit ensuite la région correspondant à toutes les conditions demandées. 3. Il réunit les régions concernées sans compter deux fois leur chevauchement. 4. Il contrôle enfin que chaque élément n'occupe qu'une seule région élémentaire.

La convention « ou » est inclusive dans A ∪ B : la zone commune est comprise. Pour un complément, l'univers doit être connu. Un grand chevauchement attire l'œil, mais il ne signifie pas qu'il contient davantage d'éléments. Seuls les éléments ou les nombres inscrits permettent cette comparaison.

On étudie l'univers U formé des entiers de 1 à 12. L'ensemble A contient les nombres pairs ; l'ensemble B contient les multiples de 3. Les données sont donc U = {1, 2, …, 12}, A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} et B = {3, 6, 9, 12}.

1. Les éléments communs aux deux listes sont 6 et 12. Ainsi, A ∩ B = {6, 12}.
2. La partie de A hors de B contient {2, 4, 8, 10}. La partie de B hors de A contient {3, 9}.
3. La réunion rassemble les trois régions intérieures : A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.
4. Le complément de cette réunion dans U contient {1, 5, 7, 11}.

Le contrôle porte sur les 12 éléments de U : 4 sont seulement dans A, 2 seulement dans B, 2 dans l'intersection et 4 hors des deux. La somme 4 + 2 + 2 + 4 = 12 confirme que chaque entier a été compté exactement une fois.

Pour classer une petite liste d'objets selon deux ou trois propriétés, le diagramme permet de placer chaque objet dans une région. Une table à double entrée devient préférable lorsque les catégories sont nombreuses ou lorsque chaque valeur doit être retrouvée rapidement.

Dans une enquête, les régions accueillent les effectifs des personnes ayant choisi chaque combinaison de réponses. Un graphique proportionnel est préférable si le but principal est de comparer visuellement des tailles, car un diagramme de Venn ordinaire ne garantit pas des aires fidèles.

En logique, les courbes aident à tester une affirmation portant sur plusieurs propriétés. Une écriture symbolique devient préférable dès que le nombre d'ensembles rend les régions difficiles à suivre.

Diagramme d'Euler. Il montre seulement les relations effectivement présentes entre les ensembles et peut omettre une région impossible. Un diagramme de Venn conserve toutes les combinaisons logiques de régions, même si certaines ne contiennent aucun élément. Si A est inclus dans B, un diagramme d'Euler peut dessiner la courbe de A entièrement à l'intérieur de celle de B. Dans un diagramme de Venn à deux ensembles, les deux courbes se coupent pour faire apparaître les quatre régions ; celle qui correspond à A hors de B reste dessinée, mais elle est vide.

Au-delà de trois ensembles. Le nombre de régions à distinguer augmente rapidement. Avec quatre ou cinq ensembles, des courbes non circulaires peuvent être nécessaires et la lisibilité diminue. Une écriture ensembliste ou une autre organisation devient préférable si les appartenances ne se repèrent plus sans ambiguïté.

Aires trompeuses. Deux zones de tailles différentes peuvent contenir le même effectif. Sans règle de proportionnalité annoncée, il faut lire les éléments ou les nombres inscrits et ignorer l'impression donnée par les surfaces.

Complément sans univers. Dire « tout ce qui n'est pas dans A » reste incomplet si le cadre de référence n'est pas fixé. Le bon réflexe consiste à nommer d'abord l'univers, puis à sélectionner sa région extérieure à A.

Double comptage. Additionner l'effectif de A et celui de B compte deux fois les éléments de A ∩ B. Pour obtenir l'effectif de la réunion, l'effectif commun doit être retranché une fois.

L'Intersection précise le sens de la zone commune et les propriétés de cette opération sur les ensembles.

La Réunion approfondit le « ou » inclusif et le regroupement sans double comptage.

Le complémentaire d'un ensemble montre pourquoi toute lecture d'un complément dépend de l'univers choisi.

Le diagramme d'Euler permet d'étudier une représentation qui ne conserve que les relations effectivement présentes.