diagramme de Carroll

Prenez les nombres de 1 à 8 et posez deux questions : le nombre est-il pair, et est-il au plus égal à 4 ? Un diagramme de Carroll prépare une case pour chacune des quatre réponses possibles. Le nombre 2 va dans la case « pair et au plus 4 » ; le nombre 7 dans « impair et plus de 4 ». Chaque objet trouve ainsi une place d'après des critères annoncés, y compris lorsque la réponse à l'un d'eux est non.

Un diagramme de Carroll est un tableau carré à double entrée qui classe des objets selon des attributs logiques. Chaque attribut est une propriété qui peut être vraie ou fausse pour l'objet considéré. Une ligne ou une colonne porte la propriété ; la ligne ou la colonne complémentaire porte sa négation. Les régions réservées aux deux réponses ont la même dimension : le dessin ne suggère donc pas que le cas positif est plus important que le cas négatif.

Avec deux attributs indépendants dans la présentation, le croisement produit quatre cases, une pour chaque combinaison de réponses. Ajouter un attribut oblige à subdiviser encore les régions afin de distinguer toutes les combinaisons : avec n attributs binaires, il y en a 2^n. En pratique, la lecture devient difficile au-delà de quatre attributs. Cette limite concerne la lisibilité de la représentation, non la possibilité logique de décrire les objets.

L'écrivain et logicien britannique Lewis Carroll (1832-1898) a présenté ce dispositif dans un ouvrage consacré à la logique élémentaire.

On rencontre ce support dans un exercice où des nombres, des cartes, des formes ou d'autres objets doivent être répartis selon des propriétés. Il se reconnaît à un cadre carré, à deux entrées qui se croisent, à des intitulés opposés comme « pair » et « impair », et à une case réservée à chaque combinaison. Les objets sont placés dans les cases, tandis que les bords portent les critères de classement. Le tableau encode donc quelles propriétés chaque objet possède et lesquelles il ne possède pas.

La grandeur à lire n'est pas une mesure : c'est la combinaison de propriétés associée à chaque case. Premièrement, lisez l'intitulé de la ligne. Deuxièmement, lisez celui de la colonne. Troisièmement, réunissez les deux conditions avec « et ». Enfin, vérifiez que chaque objet de la case satisfait bien les deux conditions. La convention essentielle est que les intitulés opposés couvrent tous les cas sans chevauchement.

Dans l'exemple des nombres de 1 à 8, les quatre combinaisons et leurs effectifs égaux sont rendus visibles par une représentation carrée. La taille d'une case ne mesure pourtant ni son effectif ni une probabilité. L'œil peut croire qu'une grande région signifie « davantage » ; le bon réflexe consiste à compter les objets inscrits et à relire les deux critères.

On classe les huit nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8. Le premier critère oppose les nombres pairs aux nombres impairs. Le second oppose les nombres au plus égaux à 4 aux nombres strictement supérieurs à 4.

1. Parmi les nombres au plus égaux à 4, 2 et 4 sont pairs : ils occupent la case « pair et au plus 4 ».

2. Les nombres 6 et 8 sont pairs et supérieurs à 4 : ils vont dans la seconde case de la ligne « pair ».

3. Les nombres 1 et 3 sont impairs et au plus égaux à 4 ; les nombres 5 et 7 sont impairs et supérieurs à 4.

Le résultat donne quatre cases de deux nombres chacune. Le contrôle est refaisable : les huit nombres apparaissent exactement une fois, et chaque nombre vérifie les deux intitulés de sa case.

Pour trier une petite collection, on choisit deux propriétés dont la réponse est oui ou non, puis on place chaque objet au croisement correspondant. Une simple liste suffit si un seul critère intervient ; le diagramme devient utile quand il faut voir deux critères ensemble.

Pour contrôler un classement, on relit les deux intitulés de chaque case et on vérifie chaque objet. Un tableau d'effectifs est préférable si le but principal est de comparer des nombres plutôt que d'identifier les objets.

Pour faire raisonner sur une négation, on formule explicitement la propriété opposée : « supérieur à 4 » complète ici « au plus égal à 4 ». Un diagramme de Venn est souvent préférable lorsque l'on veut suivre des inclusions ou des intersections entre ensembles.

Le diagramme de Venn. Il représente des ensembles par des régions qui peuvent se chevaucher. Si l'information recherchée est une intersection dessinée par le recouvrement de deux contours, il s'agit d'un diagramme de Venn ; le diagramme de Carroll réserve plutôt une case à chaque combinaison de propriétés et de négations.

Le tableau à double entrée ordinaire. Il organise toute donnée croisant deux catégories, sans exiger qu'une catégorie soit la négation de l'autre. Un tableau « mois × produit » est à double entrée, mais ce n'est pas un diagramme de Carroll.

Critères qui ne sont pas complémentaires. Si un objet peut appartenir aux deux intitulés d'une même opposition, ou à aucun, sa case devient ambiguë. Il faut reformuler l'attribut en une propriété et sa négation avant de classer.

Case prise pour une quantité. Des régions de même dimension expriment la symétrie logique entre une propriété et sa négation. Elles ne prouvent pas que les effectifs sont égaux. Il faut compter les éléments de chaque case pour comparer les effectifs.

Trop d'attributs. Avec n attributs binaires, il faut distinguer 2^n combinaisons. La source fixe un seuil pratique : la lisibilité devient difficile au-delà de quatre attributs, sans que cela constitue une limite théorique. Il faut alors réduire le nombre de critères affichés ou répartir l'analyse entre plusieurs diagrammes.

Les diagrammes chez Lewis Carroll. Cet article replace le dispositif dans les travaux logiques de Carroll.

Diagramme de Venn. Cette fiche permet de comparer le classement en cases avec la représentation d'ensembles par régions.

Tableau à double entrée. Cette fiche approfondit la structure générale dont le diagramme de Carroll constitue un usage logique particulier.