Absurde

Imaginez que √2 puisse s’écrire comme une fraction irréductible. En suivant cette supposition, le numérateur et le dénominateur devraient pourtant être tous les deux pairs. La fraction ne serait donc pas irréductible : l’hypothèse de départ conduit à une impossibilité.

Raisonner par l’absurde, c’est emprunter provisoirement le chemin opposé à la conclusion recherchée. Si ce chemin impose deux affirmations incompatibles, sa première direction était impossible. La conclusion initiale est alors établie, dans le cadre logique classique.

Le raisonnement par l’absurde est une méthode de preuve indirecte. Pour démontrer une proposition appelée P, on suppose sa négation, notée non-P. On déduit ensuite, par des étapes logiquement valides, une contradiction : par exemple un énoncé Q et sa négation non-Q. Le schéma est $\mathrm{\neg }P\Rightarrow (Q\wedge \mathrm{\neg }Q)\backslash neg\; P\; \backslash Rightarrow\; (Q\; \backslash land\; \backslash neg\; Q)$. Puisque l’hypothèse non-P est intenable, on obtient non-non-P et, en logique classique, on conclut P.

La contradiction doit provenir de l’hypothèse ajoutée et de résultats déjà admis ou démontrés. Elle ne peut pas reposer sur une intuition, une approximation ou une erreur de calcul. La méthode s’applique notamment aux affirmations d’existence et aux preuves d’irrationalité. Elle est employée depuis l’Antiquité.

Une nuance logique est essentielle. La déduction de P à partir de l’impossibilité de non-P utilise l’élimination de la double négation, admise en logique classique. En logique intuitionniste, cette étape n’est pas valable pour toute proposition : le même raisonnement établit alors seulement non-non-P, sauf argument constructif supplémentaire.

Montrons que √2 n’est pas rationnel. Supposons le contraire : il existe deux entiers strictement positifs, a et b, sans diviseur commun autre que 1, tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}\backslash sqrt\{2\}=\backslash frac\{a\}\{b\}$. La fraction a/b est ainsi choisie irréductible.

1. Élevons l’égalité au carré : $a^2=2b^{2}a^2=2b^2$. Le carré de a est pair. Or le carré d’un entier impair est impair ; a est donc pair.

2. Écrivons alors a = 2k, où k est un entier strictement positif. En remplaçant a, on obtient $4k^2=2b^{2}4k^2=2b^2$, puis $b^2=2k^{2}b^2=2k^2$. Le même argument montre que b est pair.

3. Les nombres a et b sont donc tous deux divisibles par 2. Cela contredit le choix d’une fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun supérieur à 1.

La supposition « √2 est rationnel » est impossible. Par conséquent, √2 est irrationnel. Le contrôle est refaisable : chaque déduction de parité repose sur le fait qu’un entier impair a un carré impair.

Pour prouver une irrationalité, on part d’une écriture fractionnaire supposée irréductible. Si les calculs forcent un facteur commun au numérateur et au dénominateur, l’absurde est naturel. Une preuve directe reste préférable lorsqu’une propriété explicite suffit.

Pour établir une impossibilité, on suppose qu’un objet satisfaisant les conditions existe. On examine alors simultanément toutes ces conditions. Si elles imposent deux propriétés incompatibles, la supposition d’existence est rejetée.

Avant de choisir cette méthode, on écrit précisément la négation de l’énoncé visé. Ce geste évite de réfuter une affirmation différente. Quand la négation fournit immédiatement des données exploitables, la preuve par l’absurde devient souvent efficace.

Avec une preuve directe. Une preuve directe part des hypothèses de l’énoncé pour atteindre la conclusion, sans supposer celle-ci fausse. Pour montrer qu’un entier pair a un carré pair, écrire cet entier sous la forme 2k suffit : aucune contradiction n’est nécessaire.

Avec un raisonnement par contraposée. Pour établir « si A, alors B », la contraposée démontre directement « si non-B, alors non-A ». L’absurde suppose A et non-B ensemble, puis cherche une contradiction. Les deux voies peuvent prouver la même implication, mais leur déroulement est testablement différent.

Avec un contre-exemple. Un contre-exemple réfute une affirmation universelle en exhibant un cas qui ne la vérifie pas. Le raisonnement par l’absurde, lui, démontre un énoncé en montrant que sa négation est impossible.

Une conséquence surprenante n’est pas une contradiction. Le symptôme du piège est une conclusion seulement jugée peu plausible. Il faut obtenir deux propositions incompatibles, ou violer explicitement une hypothèse établie, puis identifier chaque déduction qui y mène.

Une erreur intermédiaire ne prouve rien. Si la contradiction vient d’une division par une quantité peut-être nulle, d’une implication renversée ou d’un calcul faux, elle condamne le raisonnement, pas l’hypothèse. Chaque transformation doit rester valide sous les hypothèses en cours.

La conclusion dépend du cadre logique. En logique classique, l’impossibilité de non-P permet de conclure P. En logique intuitionniste, elle donne en général non-non-P. Il faut alors fournir une construction de P ou préciser que l’on travaille classiquement.

Une preuve d’existence peut rester non constructive. Écarter l’hypothèse « aucun objet ne convient » établit l’existence classique sans nécessairement produire l’objet. Si un témoin explicite est demandé, il faut compléter la preuve par une construction.

La contraposée offre une autre voie pour démontrer une implication et aide à choisir entre preuve indirecte et transformation logique directe.

Le principe de non-contradiction précise pourquoi une proposition et sa négation ne peuvent être vraies ensemble dans le cadre logique employé ici.

Le principe du tiers exclu prolonge la réflexion sur les règles classiques mobilisées lorsqu’une preuve indirecte conclut entre une proposition et sa négation.