Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Non-contradiction (principe de)
Le principe de non-contradiction est l'un des principes fondamentaux de la logique classique. Il affirme qu'une proposition ne peut pas être à la fois vraie et fausse dans le même sens et en même temps. Formellement, il est impossible que P et non-P soient tous deux vrais simultanément. Aristote le considérait comme le plus certain de tous les principes. Dans les systèmes formels, la cohérence en est l'analogue syntaxique : un système est cohérent s'il ne peut pas démontrer à la fois une proposition et sa négation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le principe avec une proposition et sa négation.
- Vérifier l'identité de l'objet, du sens, du moment et des circonstances.
- Distinguer non-contradiction, tiers exclu, désaccord et cohérence formelle.
- Repérer les faux diagnostics dus à un changement d'heure ou d'interprétation.
En clair
Une porte donnée, observée à 10 h, ne peut pas être à la fois fermée et non fermée. Les deux descriptions portent ici sur le même objet, au même instant et avec le même sens du mot « fermée ».
Le principe de non-contradiction généralise cette idée. Dans la logique classique, si une phrase notée P affirme un état précis, P et sa négation ne peuvent pas être vraies ensemble dans les mêmes conditions.
Définition
Le principe de non-contradiction est une règle fondamentale de la logique classique. Il s'applique à une proposition, c'est-à-dire à un énoncé auquel on attribue une valeur de vérité. Si cette proposition est appelée P, sa négation, notée non-P, affirme précisément que P n'est pas vraie. Le principe interdit que leur conjonction soit vraie : .
L'expression « dans le même sens et en même temps » est une condition décisive. Deux énoncés ne forment la paire P et non-P que s'ils concernent le même objet, sous la même interprétation et dans les mêmes circonstances. Une porte fermée à 10 h puis ouverte à 10 h 05 change d'état : ces deux descriptions ne constituent pas une contradiction simultanée.
Dans un système formel, la cohérence se formule au niveau des démonstrations : il ne doit exister aucune proposition dont le système démontre à la fois la proposition et sa négation. Cette formulation transpose le principe de non-contradiction de la vérité des énoncés à ce qui est démontrable dans le système.
Un exemple, pas à pas
Une personne observe la porte de la salle A à 10 h précises. Les données sont les suivantes : P signifie « la porte de la salle A est fermée à 10 h » ; non-P signifie « la porte de la salle A n'est pas fermée à 10 h ». L'objet, l'instant et le sens de « fermée » sont identiques dans les deux phrases.
1. On fixe la proposition P et toutes ses conditions.
2. On forme sa négation exacte, non-P, sans changer l'heure ni la porte.
3. On suppose que P et non-P sont vraies ensemble.
4. La même porte devrait alors être fermée et non fermée à 10 h, dans le même sens. Le principe de non-contradiction exclut cette conjonction.
2. On forme sa négation exacte, non-P, sans changer l'heure ni la porte.
3. On suppose que P et non-P sont vraies ensemble.
4. La même porte devrait alors être fermée et non fermée à 10 h, dans le même sens. Le principe de non-contradiction exclut cette conjonction.
Le contrôle consiste à modifier une seule donnée. Si P concerne 10 h et non-P 10 h 05, les deux phrases peuvent décrire un changement d'état. Elles ne sont plus la négation l'une de l'autre sous les mêmes conditions, donc le principe n'est pas enfreint.
En pratique
Dans une démonstration, obtenir à la fois une conclusion P et sa négation signale qu'il faut contrôler les hypothèses ou les étapes de raisonnement. Si les deux résultats reposent sur des hypothèses différentes, on les conserve en précisant chaque cadre au lieu de les déclarer contradictoires.
Dans un ensemble de règles, deux consignes incompatibles pour la même situation révèlent une incohérence. Le bon geste consiste à comparer leur objet, leur moment et leur interprétation. Si l'un de ces éléments diffère, les règles décrivent peut-être deux cas distincts.
Dans une discussion, deux phrases opposées ne suffisent pas toujours à établir une contradiction. On reformule chacune avec ses conditions. L'accusation de contradiction n'est justifiée que si la seconde est bien la négation de la première dans le même cadre.
À ne pas confondre
Principe du tiers exclu. La non-contradiction interdit que P et non-P soient vraies ensemble. Le tiers exclu affirme que P ou non-P est vraie. Interdire les deux à la fois et exclure une troisième possibilité ne sont donc pas le même énoncé.
Désaccord. Deux personnes peuvent soutenir P et non-P sans que la même proposition soit devenue vraie et fausse. Le désaccord porte sur leurs affirmations ; le principe porte sur la possibilité que ces affirmations opposées soient toutes deux vraies dans les mêmes conditions.
Cohérence d'un système formel. La non-contradiction concerne ici les valeurs de vérité, tandis que la cohérence examine ce que le système peut démontrer. Le cas qui tranche est un système où l'on cherche une preuve de P et une preuve de non-P, plutôt qu'un état observé de la porte.
Limites et pièges
Le temps a changé. « La porte est fermée à 10 h » et « la porte n'est pas fermée à 10 h 05 » peuvent être vraies ensemble. Le symptôme est la présence de deux instants. Il faut rétablir les indications temporelles avant de conclure à une contradiction.
Le sens a changé. Un même mot peut recevoir deux interprétations. Si P emploie un sens et non-P un autre, les phrases ne sont pas des négations exactes. Il faut définir le terme ambigu, puis reformuler les deux propositions dans un vocabulaire commun.
L'information est contradictoire. Un dossier qui contient P et non-P contient deux affirmations incompatibles, mais leur présence ne les rend pas toutes deux vraies. Il faut distinguer ce qui est écrit, ce qui est démontré et ce qui est tenu pour vrai.
Le cadre n'est pas celui de la logique classique. La définition source situe explicitement le principe dans la logique classique. Avant d'appliquer son verdict à un autre système, il faut examiner les règles de vérité et de démonstration propres à ce système.
Pour aller plus loin
Le Principe du tiers exclu permet de comparer deux règles classiques souvent rapprochées : l'une interdit P et non-P ensemble, l'autre affirme leur alternative.
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